Laboratorios Virtuales > Sistemas de Partículas que Interactúan > [1] 2 3
En esta sección, estudiaremos el extendido del fuego a través de un bosque. Como verá, haremos muchas suposiciones para simplificar, aún así, los procesos aleatorios resultantes, llamados los procesos del fuego, son extremadamente complicados. Esto es un ejemplo de un sistema de partículas que interactúan (algunas veces también llamado un autómata celular probabilístico). En general, los sistemas de partículas que interactúan son configuraciones espaciales de partículas (árboles en este caso) cuyos estados cambian probabilísticamente, con el estado de una partícula dada influenciada por los estados de sus vecinos. Las partículas típicamente tienen interacciones locales muy simples, aún globalmente el comportamiento del sistema de partículas es muy complejo. Debido a la complejidad, el interés está usualmente en el asintótico comportamiento (a largo plazo) del proceso.
Consideraremos un bosque ideal que consiste de una grilla rectangular de árboles. Esto es, hay un árbol en cada punto (i,j) de la grilla. Cada árbol (excepto aquellos en los límites de la grilla) tienen cuatro vecinos. Los vecinos de (i,j) son
(i + 1, j), (i - 1, j), (i, j + 1), y (i, j - 1).
En algún momento, cada árbol estará en uno de los tres estados básicos: sano, en llama, o quemado. El tiempo es discreto, y la dinámica del proceso es la siguiente:
1.
Demostrar que, por ejemplo, si el árbol sano está sobre y a la derecha del árbol que
está en llamas en el tiempo t (pero los otros dos árboles vecinos están
sanos), entonces el árbol sano será atrapado por el fuego en el tiempo t + 1
con probabilidad
Las probabilidades direccionales pueden ser usadas para modelar los efectos direccionales tales como el viento o el terreno.
2. Las
principales suposiciones para simplificar son una grilla perfecta de árboles, tiempo
discreto, y fuego esparcido solo a través de los árboles vecinos. Discuta la validez de
estas suposiciones para un fuego de un bosque real.
3. En el experimento del
fuego, seleccione el bosque 100 por 50 y ponga un solo árbol en llamas en el centro.
Ejecute la simulación y note si el fuego se consume o no, la forma general de la región
quemada, y el número y tamaño de las islas de árboles sanos. Repita con varias
probabilidades de fuego esparcido. ¿Puede trazar alguna conclusión general?
Suponga ahora que tenemos un bosque infinito con un solo tipo de árbol sano para el cual las probabilidades direccionales son las mismas,
pu = pd = pr = pl = p.
Llamaremos a esto un bosque isotrópico. Algunos resultados teóricos son conocidos para el bosque isotrópico:
El hecho que la forma asintótica es un diamante para p grandes es debido a la estructura del vecindario de la grilla (pensar qué pasa cuando p = 1).
4. En el experimento del
fuego, seleccione el bosque de 500 por 250 y ponga un solo árbol en llamas en el
centro. Ejecute la simulación con probabilidad de fuego esparcido constante p
= 0.45 hasta que el fuego se extinga o alcance los límites del bosque. Repetir con p
= 0.5, p = 0.6, p = 0.7, p = 0.8, y p = 0.9.
En cada caso, note la frecuencia y tamaño de las islas de árboles verdes . Note la forma
asintótica de la región quemada. Trace el número de árboles en llamas en función de t.
El comportamiento crítico y la forma asintótica resultantes son típicos para sistemas de partículas que interactúan.
5. En el experimento del
fuego, seleccione el bosque de 100 por 50. Ahora ponga pu = pd
= 0 y ponga un solo árbol en llamas. Ejecute la simulación con diferentes valores de
probabilidades de fuego esparcido de izquierda y derecha. ¿Puede formular algunas
conclusiones generales? Note que esencialmente tiene un bosque de una dimensión.
Ahora considere un bosque infinito de una dimensión con un solo tipo de árbol sano y con un solo árbol en llamas inicialmente. Permita que L sea el número de árboles a la izquierda del árbol inicial que será quemado y R el número de árboles a la derecha del árbol inicial que será quemado (el árbol inicial está incluido en estas cuentas).
6.
Demostrar que R y L son independientes, variables aleatorias geométricamente
distribuidas con parámetros 1 - pr, 1 - pl,
respectivamente.
Si pl < 1, entonces por el Ejercicio 2,
P(L = k) = (1 - pl)plk - 1 para k = 1, 2, ...
y en particular, L es finito con probabilidad 1. Similarmente, si pr < 1 entonces
P(R = k) = (1 - pr)prk - 1 para k = 1, 2, ...
y en particular, R es finito con probabilidad 1. Trivialmente, por otro lado, L es infinito con probabilidad 1 si pl =1, y R es infinito con probabilidad 1 si pr = 1. En cualquiera de estos casos, el fuego arde para siempre.
Así, tenemos los resultados para el bosque de una dimensión que son análogos a aquellos para el bosque de dos dimensiones: El valor crítico para cada parámetro es 1, y la forma de la región quemada es siempre un intervalo.
7. Considere un
bosque con pd = pl = 0, pu
= pr = p. En el experimento del
fuego, seleccione el bosque de 500 por 250 con un solo árbol en llamas en el centro.
Ejecute la simulación con varios valores de p, y trate de determinar
experimentalmente el valor crítico aproximado de p. ¿Que puede decir acerca
de la forma asintótica?
8. Considere un
bosque de árboles con pd = 0, pu = pl
= pr = p. En el experimento del
fuego, seleccione el bosque de 500 por 250 con un solo árbol en llamas en el centro.
Ejecute la simulación con varios valores de p, y trate de determinar
experimentalmente el valor crítico aproximado de p. ¿Que puede decir
acerca de la forma asintótica?
9. Considere un
bosque con pl = 0, pr = 1, pd
= p, pu = 0. Así, se garantiza que el fuego queme a la
derecha y puede extenderse hacia abajo; el fuego no quemará a la izquierda o descenderá.
En el experimento
del fuego, seleccione el bosque de 500 por 250 con un solo árbol en llamas en la
esquina superior izquierda. Ejecute la simulación algunas veces y trate de describir la
cubierta superior de la región quemada en términos del Proceso de ensayos de Bernoulli.