1.
Demostrar que Y = n si y sólo si I1 = 0, ..., In
- 1 = 0, In = 1.Laboratorio Virtual > Pruebas de Bernoulli > 1 2 3 [4] 5 6 7
Suponga nuevamente que nuestro experimento aleatorio es hacer pruebas de Bernoulli I1, I2, ... con parámetro p en el intervalo (0, 1]. En esta sección estudiaremos la variable aleatoria Y que da el número de pruebas del primer éxito. Recuerde que Xn, el número de éxitos en las primeras n pruebas, tiene la distribución binomial con parámetros n y p.
1.
Demostrar que Y = n si y sólo si I1 = 0, ..., In
- 1 = 0, In = 1.
2. Use
el resultado del Ejercicio 1 y el concepto de independencia para demostrar que
P(Y = n) = p(1 - p)n - 1 para n = 1, 2, ...
La distribución definida por la función densidad del Ejercicio 2 es conocida como distribución geométrica con parámetro p.
3.
En el experimento
binomial negativo, fije k = 1. Varíe p con la barra
de desplazamiento y note la forma de la función densidad. Con p = 0.2,
haga correr la simulación con una frecuencia de actualización de 10. Observe
la convergencia aparente de la función frecuencia relativa a la función
densidad.
4.
Muestre en forma directa que la función densidad geométrica es realmente una
función densidad.
5. Un dado no trucado es lanzado hasta la ocurrencia de un uno. Encuentre la
probabilidad de que el dado tenga que ser lanzado al menos 5 veces.
Los ejercicios siguientes dan la media, varianza, y función generadora de probabilidad de la distribución geométrica.
6. Demostrar que E(Y)
= 1 / p.
7. var(Y)
= (1 - p) / p2.
8. Demostrar que E(tY)
= pt / [1 - (1 - p)t] para |t| < 1 / (1 - p).
9. En el experimento
binomial negativo, fije k = 1. Varíe p con la barra
de desplazamiento y note el lugar y tamaño de la barra de media/desviación
estándar. Con p
= 0.4, haga correr el experimento con una frecuencia de actualización de 10.
Observe la convergencia aparente de la media y de la desviación estándar de la
muestra a la media y desviación estándar de la distribución.
10. Un cierto tipo de misil tiene una probabilidad de fallar de 0.02. De la
media y desviación estándar del número de lanzamientos antes de la primera
falla.
11. Demostrar que la distribución condicional de Y dado Xn = 1
es uniforme en {1,
2, ..., n}. Note que la distribución no depende de p. Interprete
el resultado probabilisticamente.
12. Un estudiante recibe un exámen de tipo multiple choice de 10 preguntas,
con 4 opciones cada una. El estudiante adivina ciegamente y termina con una
respuesta correcta. Encuentre la probabilidad de que la preguntada contestada
correctamente sea una de las primeras 4.
Los problemas siguientes exploran una caracterización muy importante de la distribución geométrica.
13. Suponga que Z es una variable aleatoria que toma valores enteros
positivos. Demostrar que Z tiene distribución geométrica con
parámetro p si y sólo si
P(Z > n) = (1 - p)n para n = 0, 1, 2, ...
14. Si Z
tiene distribución geométrica, demuestre que Z satisface la propiedad
de sin memoria: para enteros positivos n y m,
P(Z > n + m | Z > m) = P(Z > n)
15. A la inversa, demuestre que si Z es una variable aleatoria que
toma valores enteros positivos y que satisface la propiedad de sin memoria,
entonces Z tiene distribución geométrica.
16. Demuestre que Z tiene la propiedad de sin memoria si y solo si
la distribución condicional deZ - m dado Z > m
es la misma que la distribución de Z.
17.En el experimento
binomial negativo, fije k = 1, p = 0.3. Haga correr el
experimento 1000 veces, con una frecuencia de actualización de 100. Calcule las
frecuencias relativas apropiadas e investigue empíricamente la propiedad de sin
memoria.
P(Y > 5 | Y > 2) = P(Y > 3)
La propiedad de sin memoria tiene implicaciones importantes en los juegos de apuesta.
18. Recuerde que la ruleta americana tiene 38 ranuras: 18 son colaradas, 18 son
negras, y 2 son verdes. Suponga que usted observa colorada en 10 tiros
consecutivos. De la distribución condicional del número de tiros adicionales
necesarios para que salga negro.
Ahora exploraremos otra situación de juego de apuestas., conocida como el problema de Petersburg, lo que nos lleva a unos resultados algo famosos y sorprendentes. Suponga que estamos apostando en una secuencia de pruebas de Bernoulli con un parámetro de éxito p > 0. Podemos apostar cualquier cantidad de dinero en las pruebas pares: si la prueba resulta exitosa, recivimos ese monto de dinero, y si la pruba resulta en un fracaso, debemos pagar ese dinero. Usaremos la estrategia siguiente, conocida como la estrategia martingale:
19. Deje que V
denote nuestras ganancias netas cuando paramos. Demuestre que V = c.
Por lo tanto, V no es aleatoria y V es independiente de p > 0! Ya que c es una constante arbitraria, parecería que tenemos una estrategia ideal. Sin embargo, estudiemos la cantidad de dinero W necesaria para aplicar la estrategia.
20. Demuestre que W
= c(2Y - 1).
21. Use el resultado del ejercicio anterior para demostrar que
si p 
1 / 2.Por lo tanto, la estrategia es fatalmente imperfecta cuando las pruebas son desfavorables y aún cuando son parejas.
22. Calcule E(W) explicitamente si c = 100 y p = 0.55.
23. En el experimento
binomial negativo, fije k = 1. Para cada uno de los siguientes
valores de p,
haga correr el experimento 100 veces, actualizando después de cada
experimento. Para cada uno calcule W (con
c = 1). Encuentre el valor promedio de W sobre los 100
experimentos:
Para más información sobre estrategias de juego, mire el capítulo Colorado y Negro.
Una moneda tiene probabilidad de cara p en (0, 1]. Hay n jugadores que obtienen su turno para lanzar la moneda en estilo round-robin: primero el jugador 1, después el jugador 2, ..., luego el judador n, después el jugador 1 nuevamente, y así sucesivamente.El primer jugador en obtener cara gana el juego.
Deje que Y denote el número del primer lanzamiento que resulta una cara. Por supuesto, Y tiene distribución geométrica con parámetro p. Adicionalmente, deje que W denote al ganador del juego; W toma valores 1, 2, ..., n. Calcularemos la función densidad de probabilidad de W de dos maneras diferentes
24. Demostrar que para i = 1, 2, ..., n,
W = i si y sólo si Y = i + kn para algún k = 0, 1, 2, ...
Esto es, utilizando aritmética modular, W = (Y - 1) (mod n) + 1.
25. Use el resultado del ejercicio anterior y la distribución geométrica para
demostrar que
P(W = i) = p(1 - p)i - 1 / [1 - (1 - p)n] para i = 1, 2, ..., n
26. Razone acerca de P(W = i) = (1 - p)i
- 1P(W = 1). Use este resultado para re-derivar la
función densidad de probabilidad en el ejercicio anterior.
27. Explicitamente calcule la función densidad de probabilidad de W
cuando la moneda no está trucada (p = 1/2) en cada uno de los
siguientes casos
Note del ejercicio 25 que W por si misma tiene una distribución geométrica truncada.
28. Demostrar que la distribución de W es la misma que la
distribución condicional de Y dado Y
n:
P(W = i) = P(Y = i
| Y
n ) para i = 1, 2, ..., n.
29. Demostrar que para un p fijo en (0, 1], la distribución de W
converge a la distribución geométrica con parametro p cuando n
.
30. Demostrar que para un n fijo, la distribución de W
converge a la distribución uniforme en {1, 2, ..., n} cuando p
0.
31. ¿Qué pasa en el juego cuando p = 0? Compare con el límite en
el ejercicio anterior.