1. Mostrar que Mn
m si y solo si Yi =
m para algún i 
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Considere el camino aleatorio simétrico simple
Yn = X1 + X2 + ··· + Xn, n = 0, 1, ...
donde X1, X2, ... son independientes con P(Xi = 1) = 1/2, P(Xi = -1) = 1/2.
En esta sección estudiaremos Mn = max{Y0, Y1, ..., Yn}, la posición máxima durante los primeros n pasos. Observe que Mn toma valores desde 0 a n. La distribución de Mn puede ser derivado de una simple (y maravillosa) idea conocida como el principio de reflexión.
1. Mostrar que Mn
m si y solo si Yi =
m para algún i n.
2. Mostrar que para cada paso que satisface que Mn m
e Yn = k m hay otro paso que
satisface Yn = 2m - k. Consejo:
El segundo paso es obtenido del primer paso reflejándolo en la línea y = m, después de que el primer paso es m.
3. Use los resultados de los
Ejercicios 1 y 2 y el hecho de que los pasos son igualmente probables para demostrar que
P(Mn m, Yn
= k) = P(Yn = 2m - k) para k
m n.
4. Use el resultado del
Ejercicio 3 para mostrar que
P(Mn = m, Yn = k) = P(Yn = 2m - k) - P[Yn = 2(m + 1) - k].
5. Use el resultado del
Ejercicio 4 para mostrar que
6. En la simulación
del camino aleatorio, seleccione la variable máximo valor. Varíe el número de pasos y observe la forma y ubicación de la función
densidad y la barra de la media/desviación standard. Luego establezca el número de pasos a 30 y corra la simulación 1000 veces con una
frecuencia de actualización de 10.
Observe la convergencia de la función de frecuencia relativa y los momentos empíricos, y compárelos con los reales.
7. Mostrar que para cualquier n,
la función densidad de Mn es decreciente.
El resultado del Ejercicio 7 es un poco sorprendente; en particular, el único valor mas probable para el máximo es 0 !
8. Calcular explícitamente la función densidad, media, y
desviación standard de M5.
9. Una moneda es arrojada 10 veces. Encontrar la probabilidad
de que la diferencia entre el número de caras y el número de cecas nunca sea mayor a 4.