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3. La Ultima Visita al Cero

Considere nuevamente el camino aleatorio simétrico simple

Y_n = X₁ + X₂ + ··· + X_n, n = 0, 1, ...

donde X₁, X₂, ... son independientes con P(X_i = 1) = 1/2, P(X_i = -1) = 1/2.

En esta sección estudiaremos la última visita al cero durante los primeros 2n pasos:

L_2n = max{ j {0, 2, ..., 2n}: Y_j = 0}.

Note que dado que las visitas al 0 pueden ocurrir solo en pasos pares, la última visita al 0 toma los valores 0, 2, ..., 2n. Esta variable aleatoria tiene una extraña e interesante distribución conocida como la  distribución discreta arco seno. A través del camino a nuestra derivación, descubriremos otros resultados interesantes.

1. Demuestre que

P(L_2n = 2k) = P(Y_2k = 0, Y_{2k + 1} 0, ..., Y_2n 0}.

2. Use las condiciones de independencia, simetría y el resultado del Ejercicio 1 para demostrar que

P(L_2n = 2k) = P(Y_2k = 0)P(Y₁ 0, ..., Y_{2n - 2k} 0}.

Nosotros conocemos el factor sobre la derecha en el Ejercicio 2 de la distribución de Y_2k. Así, necesitamos conocer también el segundo factor, o sea, la probabilidad de que nuestro camino aleatorio nunca vuelva a 0 durante un intervalo de tiempo.

3. Use los resultados de la máxima posición para demostrar que

P(Y₁ 0, Y₂ 0, ..., Y_2j 0) = P(M_2j = 0) = C(2j, j) / 2^2j.

4. Use la simetría (El principio de reflección en y = 0!), para demostrar que

P(Y₁ 0, Y₂ 0, ..., Y_2n 0) = C(2n, n) / 2²ⁿ.

5. Demuestre que

Y₁ > 0, Y₂ > 0, ..., Y_2j > 0 si y solo si Y₁ = 1, Y₂ 1, ..., Y_2j 1.

6. Use el resultado del Ejercicio 5, la independencia, y la simetría para demostrar que

P(Y₁ > 0, Y₂ > 0, ..., Y_2j > 0) = P(Y₁ = 1)P(Y₁ 0, ..., Y_{2j - 1} 0).

7. Demuestre que Y_{2j - 1} 0 implica Y_2j 0.

8. Use los resultados de los Ejercicios 4, 6 y 7 para demostrar que

P(Y₁ > 0, Y₂ > 0, ..., Y_2j > 0) = C(2j, j) / 2^{2j + 1}.

9. Use el resultado del Ejercicio 8 y la simetría para demostrar que

P(Y₁ 0, Y₂ 0..., Y_2j 0} = C(2j, j) / 2^2j.

10. Use los resultados de los Ejercicios 2 y 9 para demostrar que la función densidad de L_2n es

P(L_2n= 2k) = C(2k, k)C(2n - 2k, n - k) / 2²ⁿ, k = 0, 1, ..., n.

11. En la simulación del camino aleatorio, elija la última visita al 0 y entonces varíe el numero de pasos con la barra. Observe la forma y ubicación de la función densidad y la barra media/desviación standard. Ahora con 50 pasos, corra la simulación 1000 veces con una frecuencia de actualización de 10 y observe la convergencia de la densidad empírica y los momentos, comparados con los verdaderos.

12. Demuestre que

1. P(L_2n= 2k) = P(L_2n= 2n - 2k), de modo que la función densidad es simétrica alrededor de n.
2. P(L_2n= 2j) > P(L_2n= 2k) si 2j < 2k n, de modo que la función densidad tiene una forma en u.

En particular, 0 y 2n son los valores mas probables. La distribución arco seno es bastante sorprendente. Debido a que  estamos arrojando una moneda para determinar la dirección de los pasos del caminante, Ud. podría facilmente pensar que el camino aleatorio debería ser positivo la mitad del tiempo y negativo la otra mitad, y que debería pasar por cero frecuentemente. Pero de hecho, la ley del arco seno implica que con probabilidad 1 / 2, no habrá paso por 0 durante la secunda mitad de la caminata, desde el tiempo n + 1 a 2n, sin importar n, y no es infrecuente para el camino permanecer positivo (o negativo) durante todo el tiempo desde 1 a 2n.

13. Explícitamente calcule la función densidad, media, y varianza de L₁₀.

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