1. Comentar acerca de la
validez de la suposición de que los votos estén ordenados aleatóriamente en una elección real.Laboratorios Virtuales > Camino Aleatorio > 1 2 3 [4]
Suponga que en una elección, el candidato A recibe a votos y el candidato B recibe b votos donde a > b. Suponiendo un ordenamiento aleatorio de los votos, cual es la probabilidad de que A esté siempre adelante de B en la cuenta de votos? Este es un problema históricamente famoso conocido como el Problema del Voto, que fue resuelto por Joseph Louis Bertrand en 1887. El problema del voto está íntimamente relacionado a los caminos aleatorios simples.
1. Comentar acerca de la
validez de la suposición de que los votos estén ordenados aleatóriamente en una elección real.
El problema del voto puede ser resuelto usando el argumento de la probabilidad condicional simple para obtener una relación de recurrencia. Sea Pa,b la probabilidad de que A esté siempre adelante de B en el conteo de votos.
2. Use esa condición sobre el candidato que recibe el último voto
para demostrar que
Pa,b = [a / (a + b)]Pa - 1,b + [b / (a + b)]Pa,b - 1 .
3. Use la condición inicial P1,0 = 1 y la inducción sobre el numero de votos n = a
+ b para demostrar que
Pa,b = (a - b) / (a + b).
4. En el
experimento del voto, varíe los parámetros a y b
y observe el cambio en la probabilidad del voto. Ahora con a = 10 y b = 5, corra el
experimento 1000 veces con una frecuencia de actualización de 10 y observe la convergencia de la frecuencia relativa con la probabilidad
real.
5. En una elección
para Intendente de una pequeña ciudad, El Sr. García recibió 4352 votos mientras que el Sr. Pérez recibió 7543
votos. Calcule la probabilidad de que Pérez estuviera siempre adelante de García en la cuenta de votos.
Considere ahora el camino aleatorio simple
Yn = X1 + X2 + ··· + Xn, n = 0, 1, 2, ...
donde X1, X2, ... son independientes con P(Xi = 1) = p, P(Xi = -1) = 1 - p. En la formulación usual, Xi es el resultado del i-ésimo paso: 1 para un paso a la derecha y -1 para un paso a la izquierda.
4. Dado Yn
= k, demostrar que
5. Use el ejercicio
previo y la probabilidad del voto para demostrar que para k > 0,
P(Y1 > 0, Y2 > 0, ..., Yn - 1 > 0 | Yn = k) = k / n.
6. En el
experimento del voto, varíe los parámetros a y b
y observe el cambio en la probabilidad del voto. Ahora con a = 10, b = 8, corra el
experimento 1000 veces con una frecuencia de actualización de 10 y observe la convergencia de la frecuencia relativa con la probabilidad
real.
7. Una ruleta tiene 38 ranuras; 18 son rojas, 18 son negras, y 2
son verdes. Fernando apuesta un peso al rojo, en posición par, 50 veces, ganando 22 veces y perdiendo 28 veces. Encontrar la probabilidad
de que la suerte de Fernando fuera siempre negativa.
Considere nuevamente el camino aleatorio simple con parámetro p, como en la última subsección. Sea T, el cual denota la oportunidad del primer retorno a 0:
T = min{n > 0: Yn = 0}.
Observe que el retorno a 0 puede ocurrir solo en oportunidades pares, de modo que los valores finitos posibles de T son 2, 4, ..., etc.; puede ser posible que T sea infinito con probabilidad positiva.
8. Demostrar que
P(T = 2n) = P(T = 2n, Y2n = 0) = P(T = 2n | Y2n = 0)P(Y2n = 0).
9. Use el
problema del voto para demostrar que
P(T = 2n | Y2n = 0) = Pn,n-1 = 1 / (2n - 1).
10. Use los
resultados de los Ejercicios 7 y 8 para demostrar que
P(T = 2n) = C(2n, n) pn (1 - p)n / (2n - 1) para n = 1, 2, ...
11. Fernando y Vilma
están arrojando una moneda; Fernando obtiene un punto por cada "cara" mientras que Vilma obtiene un punto por cada "ceca". Encontrar la probabilidad
que sus marcadores sean iguales por primera vez en las manos 2, 4, 6, 8,
and 10.