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1. Introducción

Camino Aleatorio General

Suponga que X₁, X₂, ... son variables aleatorias independientes, idénticamente distribuidas, de valores reales, con  función densidad  f, media µ, y varianza d². La suma parcial n-ésima  es la variable aleatoria

Y_n = X₁ + X₂ + ··· + X_n.

El proceso Aleatorio Y₀, Y₁, Y₂ ... es llamado camino aleatorio. El término viene del hecho de que podemos pensar en Y_n como la posición en el tiempo n para un caminante que da pasos aleatorios sucesivos X₁, X₂, .... Un gráfico de los valores de Y_n como una función de n es llamada  paso del camino Aleatorio.

Las variables independientes, idénticamente distribuídas, y sus sumas parciales han sido estudiadas en otros capítulos de este proyecto. A continuación se listan algunos de los hechos mas importantes que Ud. debería recordar:

• En términos estadísticos, X₁, X₂, ..., X_n es una muestra aleatoria de tamaño n de la distribución subyacente.
• La función densidad de Y_n es f^*n, la convolución n-ésima de f.
• La media de Y_n es E(Y_n) = nµ.
• La varianza de Y_n es var(Y_n) = nd².
• La media muestral Y_n / n converge a µ si n con probabilidad 1. Esta es la ley de los grandes números.
• La distribución de (Y_n - nµ) / n^1/2 d converge a la distribución normal standard cuando n . Este es el teorema del límite central.

1. Mostrar que X_i = Y_i - Y_{i - 1} para i = 1, 2, .... Así el proceso X₁, X₂, ... y el proceso Y₀, Y₁, Y₂ ... da la misma información, pero en diferentes formas.

Estamos especialmente interesados en un caso:

Camino Aleatorio Simple

Suponga que para cada i, X_i toma valores 1 y -1 con probabilidades p y 1 - p, respectivamente. En este caso Y₀, Y₁, Y₂... . es llamado camino aleatorio simple con parámetro p. A cada paso, nuestro caminante aleatorio se mueve un paso a la derecha (con probabilidad p) o un paso a la izquierda (con probabilidad 1 - p). El caminante lograría esto tirando una moneda con probabilidad de obtener cara p a cada paso, para determinar si se mueve a la izquierda o a la derecha.

2. Mostrar que para cada i,

1. E(X_i) = 2p - 1.
2. var(X_i) = 4p(1 - p).

3. Sea I_j = (X_j + 1) / 2 para cada j.

1. Mostrar que I_j = 1 si X_j = 1 y I_j = 0 si X_j = -1.
2. I₁, I₂, ... es una secuencia de Experimentos de Bernoulli.

En términos del caminante aleatorio, I_j es la variable que indica que el paso j-ésimo es a la derecha.

4. Sea Z_n = I₁ + I₂ + ··· + I_n.

1. Mostrar que Y_n = 2Z_n - n para cada n.
2. Mostrar que Z_n tiene distribución binomial con parámetros n y p.

En términos del caminante, Z_n es el número de pasos a la derecha en los primeros n pasos.

5. Usar los resultados de los ejercicios previos para mostrar que

1. P(Y_n = k) = C[n, (n + k) / 2]p^{(n + k)/2}(1 - p)^{(n - k)/2} para k = -n, -n + 2, ..., n -2, n.
2. E(Y_n) = n(2p - 1).
3. var(Y_n) = 4np(1 - p).

6. Calcular explícitamente la función densidad, media y varianza para Y₅.

7. Una moneda con probabilidad de caras p = 3/4 es arrojada 10 veces. Encontrar la probabilidad de que salgan al menos 4 caras mas que secas.

El Camino Aleatorio Simple Simétrico

Considere de nuevo las condiciones de la anterior subsección, pero suponga que p = 1/2. En este caso, Y₀, Y₁, Y₂ ... es llamado camino aleatorio simple simétrico. El mismo puede ser analizado usando algunos argumentos especiales e inteligentes; nosotros los usaremos en las siguientes subsecciones.

8. Mostrar que el vector aleatorio X_n = (X₁, X₂, ..., X_n) está uniformemente distribuído en S = {-1, 1}ⁿ.

Así, P(X_n A) = #(A) / 2ⁿ para A {-1, 1}ⁿ.

9. Mostrar que

1. P(Y_n = k) = C[n, (n + k) / 2] / 2ⁿ para k = -n, -n + 2, ..., n - 2, n.
2. E(Y_n) = 0.
3. var(Y_n) = n.

10. En la simulación del camino aleatorio, seleccione la variable último valor. Varíe el número de pasos y observe la forma y ubicación de la función densidad y la barra de desviación media/standard. Ahora establezca el número de pasos a 30 y corra la simulación 1000 veces, actualizando cada 10 corridas. Observe la convergencia entre la densidad empírica y los momentos empíricos respecto de los verdaderos.

11. En la simulación del camino aleatorio, seleccione la posición final y establezca el número de pasos a 50. Corra la simulación 1000 veces, actualizando cada 10 corridas. Calcule y compare lo siguiente:

1. P(-5 Y₅₀ 10)
2. La frecuencia relativa del evento {-5 Y₅₀ 10}
3. La aproximación normal a P(-5 Y₅₀ 10)

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