1. Use el principio de multiplicación para
demostrar que el número de permutaciones de longitud k de un conjunto de n
elementos es:Laboratorios Virtuales > Combinatorias > 1 [2] 3 4 5
Considere un conjunto D con n elementos. Una permutación de longitud k de D es una secuencia ordenada
(x1, x2, ..., xk)
de k elementos distintos de D (por supuesto, k no puede ser mayor que n). Estadísticamente, una permutación de longitud k de D corresponde a una muestra ordenada de tamaño k elegido sin reemplazo.
1. Use el principio de multiplicación para
demostrar que el número de permutaciones de longitud k de un conjunto de n
elementos es:
(n)k = n(n - 1) ··· (n - k + 1)
2. Demostrar
que el número de permutaciones de longitud n del conjunto D de n
elementos (estos son llamados simplemente permutaciones de D) es:
n! = (n)n = n(n - 1) ··· (1)
3. Demostrar
que:
(n)k = n! / (n - k)!
4. En una carrera con 10 caballos, son reconocidos los
terminados en el primero, segundo, y tercer lugar. ¿Cuántos resultados hay?
5. Ocho personas, componiendo cuatro matrimonios, son sentadas
en una fila de ocho sillas. Cuántos arreglos de asientos hay si:
6. Suponga
que n personas son sentadas en una mesa redonda. Demuestre que hay (n
- 1)! arreglos distintos de sentarlos. Nota: el significado matemático de una
mesa redonda es que no hay dedicada una primer silla.
7. Doce libros, que consisten de 5 libros de matemática, 4
libros de ciencia, y 3 libros de historia se colocan aleatoriamente sobre un estante.
8. El problema de cumpleaños. Suponga que n
personas son elegidas al azar y sus cumpleaños son anotados.
9. Ejecute el
experimento de
cumpleaños 1000 veces para los siguientes valores de n. En cada caso,
compare la frecuencia relativa del evento que los cumpleaños son distintos con los
valores teóricos en el Ejercicio 8.
10. Suponga que hay 5 cazadores de patos, cada uno tira
perfecto.Una bandada de 10 patos vuelan por encima, y cada cazados selecciona un pato al
azar y dispar. Encuentre la probabilidad que se matan 5 patos.
11.
Demostrar que el número de permutaciones de las cartas en un mazo estándar es
52! = 8.0658 × 1068.
El número en el Ejercicio 10 es enorme. De hecho, si usted realiza el experimento de repartir todas las 52 cartas de un mazo bien barajado, usted probablemente genere un patrón de cartas que nunca antes se ha generado.
12. Suponga
que 8 torres son colocadas aleatoriamente en un tablero de ajedrez. Demuestre que la
probabilidad que ninguna torre pueda capturar a otra es
8! 8! / (64)8.
13. Suponga
que 5 dados no cargados son arrojados. Encuentre la probabilidad que los escores son todos
diferentes.
14. Una
tarjeta de autorización consiste de 2 letras y 5 dígitos. Encuentre la probabilidad que
las letras y los dígitos son todos diferentes.
La fórmula para (n)k en el Ejercicio 1 tiene sentido para cualquier número real n y entero no-negativo k. La expresión que resulta se llama la fórmula de permutación generalizada
15. Calcule
cada uno de las siguientes