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Los problemas de la moneda y la aguja de Buffon son considerados entre los primeros problemas en la probabilidad geométrica. El problema original de la aguja ha sido extendido de muchas formas, comenzando con Simon Laplace quien consideró un piso con azulejos rectangulares. De hecho, las variaciones sobre el problema son problemas de investigación activa incluso en estos días.
El problema de la aguja de Buffon es esencialmente resuelto por integración de Monte-Carlo. En general, los métodos de Monte-Carlo usan muestreo estadístico para aproximar las soluciones de los problemas que son dificultosos para resolver analíticamente. La teoría moderna de los métodos de Monte-Carlo comenzó con Stanislaw Ulam, quien usó los métodos en problemas asociados con el desarrollo de la bomba de hidrógeno.
Cada uno de los problemas geométricos que hemos considerados están basados en variables aleatorias con distribuciones uniformes continuas. El siguiente problema muestra cómo simular cada variable; es un caso especial del método general de quantil de simulación.
1. Suponga
que la variable aleatoria U está uniformemente distribuida en el intervalo (0,
1) (esto es, U es un número aleatorio). Tomemos a a y b
como números reales con a < b. Demostrar que la variable
aleatoria W dada abajo está uniformemente distribuida en el intervalo (a,
b).
W = a + (b - a)U
2. Demostrar
cómo simular el centro de la moneda (X, Y) en el experimento de la
moneda de Buffon usando números aleatorios.
3. Demostrar
cómo simular el ángulo X y la distancia Y en el experimento de la
aguja de Buffon usando números aleatorios.
Neil Weiss ha señalado que nuestra simulación de computadora del experimento de la aguja de Buffon es circular, en cierto sentido el programa asume conocimiento de pi (usted puede ver esto del resultado del Ejercicio 3).
4. Intente
escribir un algoritmo de computadora para el problema de la aguja de Buffon, sin asumir el
valor de pi o cualquier otro número transcendental.
5. En el
problema de Bertrand con distancia uniforme, demostrar cómo simular D, A,
X, e Y usando un número aleatorio.
6. En el
problema de Bertrand con ángulo uniforme, demostrar cómo simular D, A,
X, e Y usando números aleatorios.
1.6. 1 - (h -
2r)(w - 2r) / (hw), r < min{h
/ 2, w / 2}
2.7.
)) 3.17. Distancia Uniforme
3.18. Angulo Uniforme
3.19. Angulo Uniforme
4.2. X = U
- 1/2, Y = V - 1/2, donde U y V son números
aleatorios.
4.3. X = U, Y = V, donde U
y V son números aleatorios.
4.5. A =
arccos(D), X = 2D2 - 1, Y = 2D(1
- D2)1/2, donde D es un número aleatorio.
4.6. A = U / 2, D = cos(A),
X = 2D2 - 1, Y = 2D(1 - D2)1/2,
donde U es un número aleatorio.