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3. Funciones y Variables Aleatorias

Funciones

Supongamos que  S y T son conjuntos. Una función f de S a T  es una regla que asigna a cada s en S un elemnto único f(s) en T. Más precisamente, pero también más pedánticamente, una función   f puede pensarse como un subconjunto del conjunto producto  S × T  con la propiedad de que para cada elemento  s en S, existe un único elemento (s, t) en f; y entonces escribimos 

t = f(s). 

El conjunto S es el dominio de f y el conjunto T  es el   espacio rango de  f. El  rango real de f  es el conjunto de valores de la función:

rango(f) = {t T: t = f(s) para algún s S}.

Si el rango de f es T, entonces se dice que f  mapea  S onto T (en lugar de decir simplente en). Así, si f es onto, entonces para cada  t en T existe s en S tal que     f(s) = t. Finalmente, se dice que f es  uno-a-uno si elementos dinstintos en el dominio  son mapeados como elemntos distintos en el rango.

f(u) = f(v) implica u = v para u, v en S.

Los conjuntos S y T están en  correspondencia uno-a-uno  si existe una función uno-a-uno  f  de S onto T. En este caso, podemos definir el  inverso de f como la función de T onto S  dada por

f ^-1(t) = s donde s es el  único elemento en  S con  f(s) = t.

Composición

Supongamos que g es una función de R en S y f una función de S en T. La composición de f con g es la  función de R en T definida por

f ° g(r) = f[g(r)] para  r en R.

1. Muestre que la composición no es conmutativa:

1. De un ejemplo de funciones f y g donde f ° g está defomoda pero g ° f  no.
2. De un ejemplo de funciones f y g donde f ° g y g ° f están definidas, pero las composiciones tienen dominios  y rangos diferentes.
3. De un ejemplo de funciones f y g donde f ° g y g ° f están definidos, tienen el mismo dominio y rango, pero son diferentes.

2. Suponga que h es una función de R en S, g una función de S en T, y f una función de T en U. Muestre que la composición es asociativa:

f ° (g ° h) = (f ° g) ° h.

3. Suponga que  f es una función uno-a-uno de S onto T. Muestre que f ^-1 ° f y f ° f ^-1 son funciones idénticas en S y T, respectivaamente:

1. f ^-1 ° f(s) = s para s en S.
2. f ° f ^-1(t) = t para t en T.

4. Muestre que la  correspondencia uno-a-uno  define una relación de equivalencia  en conjuntos no vacíos:

1. S es equivalente a S (propiedad reflexiva).
2. Si S es equivalente a T entonces T es equivalente a S (propiedad simétrica).
3. Si R es equivalente a S y S es equivalente a T entonces R es equivalente a T (propiedad transitiva).

Variables Aleatorias

Supongamos que tenemos un experimento aleatorio con espacio muestral S. Se llama variable aleatoria (T-valuada) a una función de S en otro conjunto T. La Probabilidad tiene su  notación propia, muy diferente de otras ramas de la matemática. Por ejemplo, las variables aleatorias son denominadas con las letras mayúsculas del final del alfabeto.

Intuitivamente, se puede pensar a una variable aleatoria y X como una  medición de interés en el contexto de un experimento aleatorio. Una variable aleatoria  X es aleatoria en el sentido de que su valor depende del resultado del experimento, el que no puede predecirse con certeza antes de realizar el experimneto. Cada vez que el experimento es realizado, un resultado s en S del experimento ocurre, y una variable aleatoria dada X toma el valor X(s). En general, como se verá, la notación en probabilidad suprime las referencoas sobre los espacios muestrales.

A menudo, una variable aleatoria X toma valores en un subconjunto T R^k para algún k. Si  k > 1 entonces

X = (X₁, X₂, ..., X_k)

donde X_i es una variable aleatoria de valor- real para cada i. En este caso, usualmente nos referimos a  X como un vector aleatorio , para enfatizar su character de dimensión más alta. Una varialbe aleatoria puede tener aún una estructura más complicada. Por ejemplo, si el experimento consiste en seleccionar n objetos de una población y registrar varias mediciones reales para cada objeto, entonces el resultado del experimento es un vector de vectores:

X = (X₁, X₂, ..., X_n)

donde  X_i es el vector de mediciones para el objeto i'th. Existen otras posibilidades; una variable aleatoria podría ser una secuencia infinita, o podría estar valuada en un conjunto. Ejemplos específicos se presentan en los ejercicios computacionales que siguen. Sin embargo, el punto más importante es simplemente que una variable aleatoria es una función del espacio muestral  S a otro conjunto T. 

Imágenes Inversas

Supongamos que  f es una función de un conjunto S en un conjunto T. Si B T, la imagen inversa de B bajo f es el subconjunto de S que consiste de aquellos elementos que mapean en B:

f ^-1(B) = {s S: f(s) B}.

Si X es una variable aleaatoria  T-valuadae para un experimento con espacio muestral  S, entonces usamos la notación más sugestiva

{X B}= {s S: X(s) B}.

para la imagen inversa. Note que éste es un evento (un subconjunto de un espacio muestral). En otras palabras, una afirmación  acerca de una variable aleatoria define un evento.

Las imágenes inversas conservan todas las operaciones entre conjuntos. En los siguientes ejercicios,  f  es una función de S en T. También, B, C son subconjuntos de T, y {B_j: j J} es una colección de subconjuntos de T, donde J  es un cconjunto intentado no vacío.

4. Muestre que  f ^-1(B^c) = [f ^-1(B)]^c.

5. Muestre que  f ^-1[_{j en J} B_j] = _{j en J} f ^-1(B_j).

6. Muestre que  f ^-1[_{j en J} B_j] = _{j en J} f ^-1(B_j).

7. Muestre que si B C entonces f ^-1(B) f ^-1(C).

8. Muestre que si B y C son disjuntos, entonces también lo son f ^-1(B), f ^-1(C).

Por supuesto que estos resultados se aplican a también a una variable aleatoria; solamente cambia la notación.

9. Suponga que  X es una variable aleatoria que toma valores en  T, para un experimento aleatorio con espacio muestral  S. Muetre que los Ejercicos  4-9 pueden reenunciarse como:

1. {X B^c} = {X B}^c
2. _{j en J} {X B_j} = {X _{j en J} B_j}.
3. _j {X B_j} = {X _j B_j}.
4. Si B C entonces {X B} {X C}
5. Si  B y C son disjuntos, entonces también lo son {X B}, {X C}.

Variables Básicas y Derivadas

Suponga también que tenemos un experimento aleatorio con espacio muestral  S. El resultado del experimento en sí puede pensarse como una  variable aleatoria. Específicamente, llamando X a la función identidad en S:

X(s) = s para s en S.

Entonces trivialmente X es una variable aleatoria, y los eventos que se pueden definir en términos de  X son simplemente eventos originales del experimento:

{X A} = A para A S.

Si Y es otra variable aleatoria del experimento, tomando valores en un conjunto T , entonces Y es una función de X. Es decir, existe una función g de S en T tal que Y es la composición de g con X:

Y = g(X) esto es, Y(s) = g(X(s)) para s en S.

Podríamos referirnos a  X como variable resultado  y Y como una  variable derivada. En muchos problemas de teoría de probabilidad elemental, el objeto básico de interés es una  variable aleatoria X. Si X es la variable resultado básica o la variable derivada es a menudo irrelevante.

Variable Indicador 

Para cualquier evento A, existe una variable aleatoria simple I  llamada la  variable indicador de A, cuyo valor nos dice si  A ha occurrido o no:

I(s) = 1 para s A; I(s) = 0 para s A^c.

o más simplemente, en el lenguaje del experimento, I = 1 si A ocurre y I = 0 si A no ocurre.

10. Conversely, show that any random variable I that just takes the values 0 and 1 is the indicator variable of the event

A = {I = 1} = {s S: I(s) = 1}.

11. Suppose that I is the indicator variable for an event A. Show that 1 - I is the indicator variable of A^c.

12. Suppose that A and B are events with indicator variables I_A and I_B, respectively. Show that

A B if and only if I_A I_B.

13. Suppose that {A_j: j J} is a collection of events, indexed by a nonempty set J. Let I_j be the indicator variable of A_j for each j J, and let I be the indicator variable of the intersection of the events. Show that

I = _{j in J} I_j = min{I_j: j J}.

14. Suppose that {A_j: j J} is a collection of events, indexed by a nonempty set J. Let I_j be the indicator variable of A_j for each j J, and let I be the indicator variable of the union of the events. Show that

I = 1 - _{j in J} (1 - I_j) = max{I_j: j J}.

15. Suppose that A and B are events in a random experiment, with indicator variable I_A and I_B. Express, in terms of I_A and I_B, the indicator variable of each of the 16 events that can be constructed from A and B

Computational Exercises

16. Consider the experiment of rolling a fair die twice and recording the sequence of scores (X₁, X₂). Let Y denote the sum of the scores, U the minimum of the two scores, and V the maximum of the two scores.

1. Describe the sample space S mathematically.
2. Express Y as a function on S.
3. Express U as a function on S.
4. Express V as a function on S.
5. Express the event {X₁ < 3, X₂ > 4} as a subset of S.
6. Express the event {Y = 7} as a subset of S.
7. Express the event {U = V} as a subset of S.

17. In the dice experiment, set n = 2. Run the experiment 100 times. For each run, compute the value of each of the random variables in the previous exercise.

18. Consider the card experiment of dealing a card from a standard deck and recording X = (Y, Z) where Y is the denomination and Z is the suit. Suppose that we assign a value to each card as follows: an ace has value 1, a face card has value 10, and otherwise the value of a card is the number of the card. Let U denote the value of the card.

1. Describe the sample space S.
2. Describe U as a function on the sample space.
3. Describe the event {U = 10} as a subset of the sample space.

19. In the card experiment, set n = 1. Run the experiment 100 times. For each run, compute the value of each of the random variable U in the previous exercise.

20. Recall that Buffon's coin experiment consists of tossing a coin with radius r 1/2 randomly on a floor covered with square tiles of side length 1. The coordinates (X, Y) of the center of the coin are recorded relative to axes through the center of the square in which the coin lands. Let Z denote the distance form the center of the coin to the center of the square.

1. Describe the sample space S mathematically and draw a picture of S.
2. Express Z as a function on S.
3. Express the event {X < Y} as a subset of S and draw a picture of the event.
4. Express the event {Z < 0.5} as a subset of S and draw a picture of the event.

21. Run Buffon's coin experiment 100 times with r = 0.2. For each run, compute the value of each of the random variables in the previous exercise.

22. An experiment consists of tossing 3 fair coins and recording (I₁, I₂, I₃), where I_j is the indicator variable that takes the value 1 if and only if coin j lands heads. Let X denote the number of heads.

1. Describe the sample space S mathematically.
2. Express X as a function on S.
3. Express the event {X > 1} as a subset of S.

23. An experiment consists of operating two components, labeled a and b, until failure. The sequence of failure times (X, Y) (in hours) is recorded.

1. Give a sample space S for the experiment and draw a picture of S.
2. Express the event that a lasts less than 1000 hours in terms of the basic variables and as a subset of the sample space. Draw a picture of the event.
3. Express the event that a fails before b in terms of the basic variables and as a subset of the sample space. Draw a picture of the event.
4. Express the event that the combined failure time is greater than 2000 hours in terms of the basic variables and as a function of the sample space. Draw a picture of the event.

24. Suppose that 3 fair dice are rolled and the sequence of scores (X₁, X₂, X₃) is recorded. A man pays $1 to play and then receives $1 for each die that lands on the number 6. Let W denote the man's net winnings.

1. Give the sample space S of the experiment.
2. Express W as a function on S.

25. In the M&M experiment, a bag of M&Ms (of a specified size) is purchased and the following measurements recorded: the number of red, green, blue, yellow, orange, and brown candies, and the net weight (in grams). The M&M data set gives the results of 30 repetitions of this experiment. Let N denote the total number of candies. Compute N for each bag in the data set.

26. In the cicada experiment, a cicada in the Middle Tennessee area is captured and the following measurements recorded: body weight (in grams), wing length, wing width, and body length (in millimeters), species type, and gender. The cicada data set gives the results of 104 repetitions of this experiment. Let V denote the ratio of wing length to wing with. Compute V for each cicada.

27. In the die-coin experiment, a die is rolled and then a coin is tossed the number of times shown on the die. Suppose that sequence of coin scores I is recorded (0 for tails, 1 for heads). In addition, let N denote the die score and X the number of heads.

1. Give the sample space S of the experiment. Note that S contains sequences of varying lengths.
2. Express N as a function on the sample space.
3. Express X as a function on the sample space.

28. Run the simulation of the die-coin experiment 10 times. For each run, give the values of the random variables I, N, and X of the previous exercise.

The last two subsections discuss an advanced topic and can be omitted on first reading.

Measurable Functions

Recall that a set usually comes with a sigma algebra of admissible subsets. Thus, suppose that S and T are sets with sigma algebras A and B respectively. If f is a function from S into T, then a natural requirement is that the inverse image of any admissible subset of T be an admissible subset of S. Formally f is said to be measurable if

f ^-1(B) A for any B B.

All of the functions used in this book are assumed to be measurable with respect to the appropriate sigma algebras. In particular, if S is the sample space of an experiment, then the collection of events A is a sigma algebra of subsets of S. If T is a set with sigma algebra B, then technically, a T-valued random variable X is a measurable function from S into T. This requirement ensures that any admissible statement about X is a valid event.

29. Suppose that R, S, T and sets with sigma algebras A, B, and C respectively. Show that if f is a measurable function from R into S and g is a measurable function from S into T then g _° f is a measurable function from R into T.

30. Suppose that f is a function from S into T, and that B is a sigma-algebra of subsets of T. Show that the collection below is a sigma algebra of subsets of S, called the sigma algebra generated by f:

sigma(f) = {f ^-1(B): B B}.

In particular, if S is the sample space of an experiment and X is a random variable taking values in T, then the sigma algebra generated by X is the collection of all events that can be expressed in terms of X.

sigma(X) = {{X B}: B B}.

More generally, suppose that T_j is a set with sigma algebra B_j for each j in a nonempty index set J, and that f_j is a function from S into T_j for each j. The sigma algebra generated by this collection of functions is

sigma{f_j: j J} = sigma{f_j^-1(B_j) : j J and B_j B_j}.

The if S is the sample space of a random experiment, and X_j is a random variable for each j in J, then intuitively, the sigma algebra generated by {X_j :j J} is the collection of events that can be expressed in terms of the given random variables.

Special Cases

Most of the sets encountered in applied probability are either countable, or subsets of Rⁿ for some n, or more generally, subsets of a product of a countable number of sets of these types. In this subsection, we will explore some of theses special cases.

31. Suppose that S is countable and is given the sigma algebra of all subsets (the power set). Show that any function on S is measurable.

Recall that the set of real numbers R is given the sigma algebra generated by the collection of intervals. All of the elementary functions from R to R are measurable. The elementary functions include algebraic functions (which in turn include the polynomial and rational functions), the usual transcendental functions (exponential, logarithm, trigonometric), and the usual functions constructed from these.

Suppose that S₁, S₂, ..., S_n are sets and that A_i is a sigma algebra of subsets of S_i for each i. Recall that for the product set

S₁ × S₂ × ··· × S_n,

we use the sigma algebra A generated by the collection of all product sets of the form

A₁ × A₂ × ··· × A_n where A_i A_i for each i.

If f is a function from S into T₁ × T₂ × ··· × T_n, then f = (f₁, ..., f_n), where f_i is the i'th coordinate function, mapping S into T_i. As we might expect, f is measurable if and only if f_i is measurable for each i.

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