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4. Triángulos Aleatorios

Declaración del Problema

Suponga que una vara es rota aleatoriamente en dos lugares. ¿Cual es la probabilidad que las tres piezas formen un triángulo?

Mathematical Exercise 1. Sin mirar abajo, haga una suposición.

Simulation Exercise 2. Ejecute el experimento del triángulo 50 veces. No esté preocupado con toda la información desplegada en la aplicación, pero note si las piezas forman un triángulo. ¿Le gustaría revisar su suposición en el Ejercicio 1?

Formulación Matemática

Como de costumbre, el primer paso es modelar el experimento aleatorio matemáticamente. Tomaremos la longitud de la vara como nuestra unidad de longitud, para que podamos identificar la vara con el intervalo [0, 1]. Para quebrar la vara en tres piezas, necesitamos elegir dos puntos en el intervalo. Así, tome a  X como el primer punto elegido y a Y como el segundo punto elegido. Note que X e Y son variables aleatorias y que el espacio muestral de nuestro experimento es

S = [0, 1]2.

Ahora, para modelar la afirmación que los puntos son escogidos al azar, asumiremos, como en las secciones previas, que X e Y son independientes y cada una está uniformemente distribuida en [0, 1].

Mathematical Exercise 3. Demostrar que (X, Y) está uniformemente distribuida en S = [0, 1]2.

Entonces, P(A) = área(A) / área(S) = área (A) para A S.

La Probabilidad de un Triángulo

Mathematical Exercise 4. Argumentar que las tres piezas forman un triángulo si y solo si se mantienen las desigualdades del triángulo: la suma de las longitudes de cualquiera de dos piezas debe ser mayor que la longitud de la tercer pieza.

Mathematical Exercise 5. Demostrar que el evento que las piezas formen un triángulo es T = T1 union T2 donde

  1. T1 = {(x, y) in S: y > 1/2, x < 1/2, y - x < 1/2}
  2. T2 = {(x, y) in S: x > 1/2, y < 1/2, x - y < 1/2}

Un boceto del evento T está dado abajo:

The event that the pieces form a triangle

Mathematical Exercise 6. Demostrar que P(T) = 1/4.

¿Cuánto se acercó con su suposición en el Ejercicio 1? El valor bajo relativo de la probabilidad en el Ejercicio 6 es un poco que sorprende.

Simulation Exercise 7. Ejecute el experimento del triángulo 1000 veces, actualizando cada 10 ejecuciones. Note la clara convergencia de la probabilidad empírica de Tc a la verdadera probabilidad.

Triángulos de Diferentes Tipos

Ahora calcularemos la probabilidad que las piezas formen un triángulo de un tipo dado. Recordar que en un triángulo agudo los tres ángulos son menores que 90°, mientras que un triángulo obtuso tiene un ángulo (y solo uno) que es mayor que 90°. Un triángulo recto, por supuesto, tiene un ángulo de 90°.

Mathematical Exercise 8. Suponga que un triángulo tiene lados de longitudes a, b, y c, donde c es el mas largo de ellos. Recordar (o demostrar) que el triángulo es

  1. agudo si y solo si c2 < a2 + b2.
  2. obtuso si y solo si c2 > a2 + b2.
  3. recto si y solo si c2 = a2 + b2.

La parte (c), por supuesto, es el famoso teorema de Pythagoras, llamado por el antiguo matemático Griego Pythagoras.

Mathematical Exercise 9. Demostrar que las ecuaciones del triángulo recto para las piezas de la vara son

  1. (y - x)2 = x2 + (1 - y)2 en T1.
  2. (1 - y)2 = x2 + (y - x)2 en T1.
  3. x2 = (y - x)2 + (1 - y)2 en T1.
  4. (x - y)2 = y2 + (1 - x)2 en T2.
  5. (1 - x)2 = y2 + (x - y)2 en T2
  6. y2 = (x - y)2 + (1 - x)2 en T2.

The events that the pieces form acute and obtuse triangles

Mathematical Exercise 10. Tomemos a R como el evento en que las piezas forman un triángulo recto. Demostrar que

P(R) = 0.

Mathematical Exercise 11. Demostrar que el evento en que las piezas forman un triángulo agudo es A = A1 union A2 donde

  1. A1 es la región dentro de las curvas (a), (b), y (c) del Ejercicio 7.
  2. A2 es la región dentro de las curvas (d), (e), y (f) del Ejercicio 7.

Mathematical Exercise 12. Demostrar que el evento en que las piezas forman un ángulo obtuso es B = B1 union B2 union B3 unionB4 union B5 union B6 donde

  1. B1, B2, B3 son regiones dentro de T1 y fuera de las curvas (a), (b), y (c) del Ejercicio 7, respectivamente.
  2. B4, B5, B6 son regiones dentro de T2 y fuera de las curvas (d), (e), y (f) del Ejercicio 7, respectivamente.

Mathematical Exercise 13. Demostrar que

  1. P(B1) = integral[0, 1/2] [x(1 - 2x) / (2 - 2x)]dx = 3 / 8 - ln(2) / 2.
  2. P(B2) = integral[0, 1/2] [x(1 - 2x) / (2 - 2x)]dx = 3 / 8 - ln(2) / 2.
  3. P(B3) = integral[1/2, 1] [y + 1 / (2y) - 3 / 2]dy = 3 / 8 - ln(2) / 2.

Mathematical Exercise 14. Argumentar desde la simetría que

P(B) = 9 / 4 - 3 ln(2) ~ 0.1706

Usted también podría argumentar desde la simetría que P(Bi) debe ser lo mismo para cada i, aunque B1 y B2 (por ejemplo) no son congruentes.

Mathematical Exercise 15. Demostrar que

P(A) = 3 ln(2) - 2 ~ 0.07944.

Simulation Exercise 16. Ejecute el experimento del triángulo 1000 veces, actualizando cada 10 ejecuciones. Note la clara convergencia de las probabilidades empíricas a las verdaderas probabilidades.

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