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9. Notas

Bibliografia

Este capítulo contiene temas que son tratados en cualquier libro de probabilidad.

• An Introduction to Probability Theory and It's Applications, Volumen 1 (3ra edicion) por William Feller es considerado una de las mejores referencias en probabilidad, y uno de los mejores libros de probabilidad.
• Un excelente libro de probabilidad elmental que contiene ejemplos y ejercicios es A First Course in Probability (5ta edition) por Sheldon Ross
• Una version compacta sobre probabilidad elemental se halla en The Essentials of Probability por Richard Durrett
• Para un tratamiento de mas alto nivel sobre teoria de la medida en probabilidad vea   Probability and Measure, por Patrick Billingsley.
• Sobre historia de la probabilidad vea Games, Gods and Gambling, por Florence David

 Sitios externos

• Un sitio para hallar informacion sobre historia de la probabiliad es Historia de la Matematica.

Respuestas de la sección 1

1.2.

1. P[(X₁, X₂) = (x₁, x₂)] = 1 / 36 para (x₁, x₂) en {1, 2, 3, 4, 5, 6}².
2. P(Y = y) = (6 - |7 - y|) / 36, para y = 2, 3, ..., 12.
3. P(U = u) = (13 - 2u) / 36 para u = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
4. P(V = v) = (2v - 1) / 36, para v = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
5. P[(U, V) = (u, v)] = 2 / 36 si u < v, P[(U, V) = (u, v) = 1 / 36 si u = v, para u, v = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

1.8. Si f(y) = P(Y = y) = C(30, y) C(20, 5 - y) / C(50, 5);

1. f(0) = 0.0073, f(1) = 0.0686, f(2) = 0.2341, f(3) = 0.3641, f(4) = 0.2587, f(5) = 0.0673
2. mode: y = 3.
3. P(Y > 3) = 0.3259

1.12. Si f(k) = P(X = k) = C(5, x) (0.4)^k (0.6)^{5 - k} para k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

1. f(0) = 0.0778, f(1) = 0.2592, f(2) = 0.3456, f(3) = 0.2304, f(4) = 0.0768, f(5) = 0.0102.
2. mode: k = 2
3. P(X > 3) = 0.9870.

1.15.

1. mode: n = 2.
2. P(N > 4) = 0.1088

1.17. P(I = i₁ i₂ ... i_n) = (1 / 6)(1 / 2)ⁿ para n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 y i₁, i₂, ..., i_n in {0, 1}.

1.19.

1. f(x) = x² / 10 para x = -2, -1, 0, 1, 2.
2. modes x = -2, 2.
3. P(X {-1, 1, 2}) = 3 / 5.

1.20.

1. f(n) = (1 - q)qⁿ para n = 0, 1, 2, ...
2. P(X < 2) = 1 - q².
3. P(X is even) = 1 / (1 + q).

1.21.

1. f(x, y) = (x + y) / 18 para (x, y) {0, 1, 2}².
2. mode (2, 2).
3. P(X > Y) = 1 / 3.

1.22.

1. f(x, y) = xy / 25 for (x, y) {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3)}.
2. mode (3, 3).
3. P[(X, Y) {(1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3)}] = 3 / 5.

1.26. P(X = x | X > 0) = x² / 5 para x = 1, 2.

1.27. P(U = 2 | Y = 8) = 2 / 5, P(U = 3 | Y = 8) = 2 / 5, P(U = 4 | Y = 8) = 1 / 5.

1.31. Si N denota el valor del dadp y X el numero de caras.

1. P(X = 2) = 33 / 128.
2. P(N = n | X = 2) = (64 / 99) C(n, 2) (1 / 2)ⁿ para n = 2, 3, 4, 5, 6.

1.33. Si V denota la probabilidad de caras de la moneda seleccionada y X el numero de caras.

1. P(X = 2) = 169 / 432.
2. P(V = 1 / 2 | X = 2) = 45 / 169, P(V = 1 / 3 | X = 2) = 16 / 169, P(V = 1 | X = 2) = 108 / 169.

1.34.Si X denota el valor del dado

P(X = x) = 5 / 24 para x = 1, 6; P(X = x) = 7 / 48 para x = 2, 3, 4, 5.

1.36. Si X denota the line number y D el evento de que el  item es defectuoso.

1. P(D) = 0.037
2. P(X = 1 | D) = 0.541, P(X = 2 | D) = 0.405, P(X = 3 | D) = 0.054

1.37. Las tablas dan funciones de densidades empiricas densidades empiricas (relative frequency) 

1. r	3	4	5	6	8	9	10	11	12	14	15	20
   P(R = r)	1/30	3/30	2/30	2/30	4/30	5/30	2/30	1/30	3/30	3/30	3/30	1/30

2. n	50	53	54	55	56	57	58	59	60	61
   P(N = n)	1/30	1/30	1/30	4/30	4/30	3/30	9/30	3/30	2/30	2/30

3. r	3	4	6	8	9	11	12	14	15
   P(R = r | N > 57)	1/16	1/16	1/16	3/16	3/16	1/16	1/16	3/16	2/16

1.38. Gender G: 0 (femenino), 1 (masculino). Especies S: 0 (tredecula), 1 (tredecim), 2 (tredecassini). Las tablas dan funciones de densidades empiricas densidades empiricas (relative frequency functions).

1. i	0	1
   P(G = i)	59 / 104	45 / 104

2. j	0	1	2
   P(S = j)	44 / 104	6 / 104	54 / 104

3. P(G = i, S = j)		i
   		0	1
   j	0	16 / 104	28 / 104
   	1	3 / 104	3 / 104
   	2	40 / 104	14 / 104

4. i	0	1
   P(G = i | W > 0.2	31 / 73	42 / 73

Respuestas de la sección 2

2.4. P(T > 2) = exp(-1) = 0.3679

2.5.

2. mode a = / 2.
3. P(A < / 4) = 1 - 1 / 2^1/2 ~ 0.2929.

2.8. P(T > 3) = (17 / 2) exp(-3) ~ 0.4232.

2.11.

2. f(x) = 12x²(1 - x), 0 < x < 1.
3. P(1 / 2 < X < 1) = 11 / 16.

2.13.

3. P(-1 < X < 1) = 1 / 2.

2.17.

2. P(Y > 2X) = 5 / 24.

2.18.

1. f(x, y) = 2(x + y), 0 < x < y < 1.
2. P(Y > 2X) = 5 / 12.

2.19.

1. f(x, y) = 6x²y, 0 < x < 1, 0 < y < 1.
2. P(Y > X) = 2 / 5.

2.20.

1. f(x, y) = 15x²y, 0 < x < y < 1.
2. P(Y > 2X) = 1 / 8.

2.21.

1. f(x, y, z) = (x + 2y + 3z) / 3 for 0 < x < 1, 0 < y < 1, 0 < z < 1.
2. P(X < Y < Z) = 7 / 36.

2.23. P(X > 0, Y > 0) = 1 / 4.

2.25. P(X > 0, Y > 0) = 1 / 4.

2.27. P(X > 0, Y > 0) = 1 / 4.

2.29. P(X < Y < Z) = 1 / 6.

2.30.

1. P(T > 30) = 2 / 3.
2. P(T > 45 | T > 30) = 1 / 2.

2.33. f(x, y | X < 1 / 2, Y < 1 / 2) = 8(x + y), 0 < x < 1 / 2, 0 < y < 1 / 2.

2.34. Densidades empiricas, basadas en simples particiones del rango de peso y longitud, son dadas en las siguientes tablas:

1. BW	(0, 0.1]	(0.1, 0.2]	(0.2, 0.3]	(0.3, 0.4]
   Density	0.8654	5.8654	3.0769	0.1923

2. BL	(15, 20]	(20, 25]	(25, 30]	(30, 35]
   Density	0.0058	0.1577	0.0346	0.0019

3. BW	(0, 0.1]	(0.1, 0.2]	(0.2, 0.3]	(0.3, 0.4]
   Density (G = 0)	0.3390	4.4068	5.0847	0.1695

2.36.

3. P(Y > X) = 1 / 2.

2.37.

3. P(Y > X) = 1 / 2.

Respuestas de la sección 3

3.6. P(X > 6) = 13 / 40.

3.7. P(Y > X) = 4 / 9.

3.9.

1. P(U < 1) = 1 - exp(-1) ~ 0.6321
2. P(U = 2) = exp(-2) ~ 0.1353

3.13.

2. P(X > 1, Y < 1) = 5 / 18.

3.14.

2. P(V < 1 / 2, X = 2) = 33 / 320 ~ 0.1031

Respuestas de la sección 4

4.6. Las densidades conjuntas y marginales son dadas debajo, Y y Z son dependientes.

4.7. La densidad conjunta y marginal son dadas debajo,U y V son dependientes..

4.8.

1. g(x) = x + 1/2 para 0 < x < 1.
2. h(y) = y + 1/2 para 0 < y < 1.
3. X e Y son dependientes.

4.9.

1. g(x) = (1 + 3x)(1 - x) para 0 < x < 1.
2. h(y) = 3y² para 0 < y < 1.
3. X e Y son dependientes.

4.10.

1. g(x) = 3x² para 0 < x < 1.
2. h(y) = 2y para 0 < y < 1.
3. X e Y son independientes.

4.11.

1. g(x) = (15 / 2)(x² - x⁴) para 0 < x < 1.
2. h(y) = 5y⁴ para 0 < y < 1.
3. X e Y son dependientes.

4.12.

1. f_{(X, Y)}(x, y) = x + y para 0 < x < 1, 0 < y < 1.
2. f_{(X, Z)}(x, z) = 2z(x + 1 / 2) para 0 < x < 1, 0 < z < 1.
3. f(Y, Z)(y, z) = 2z(y + 1 / 2) para 0 < y < 1, 0 < z < 1.
4. f_X(x) = x + 1 / 2 para 0 < x < 1.
5. f_Y(y) = y + 1 / 2 para 0 < y < 1.
6. f_Z(z) = 2z para 0 < z < 1.
7. Z y (X, Y) son independientes; X e Y son dependientes.

4.16.

1. f(x, y) = 1 / 144, para -6 < x < 6, -6 < y < 6.
2. g(x) = 1 / 12 para -6 < x < 6.
3. h(y) = 1 / 12 para - 6 < y < 6.
4. X e Y son  independientes.

4.18.

1. f(x, y) = 1 / 72, para -6 < y < x < 6.
2. g(x) = (x + 6) / 72 para -6 < x < 6.
3. h(y) = (6 - y) / 72 para- 6 < y < 6.
4. X e Y son dependientes.

4.20.

1. f(x, y) = 1 / 36 para x² + y² < 36.
2. g(x) = (36 - x²)^1/2 / 18 para -6 < x < 6.
3. h(y) = (36 - y²)^1/2 / 18 para - 6 < y < 6.
4. X e Y son dependientes.

4.22.

1. f(x, y, z) = 1 para 0 < x < 1, 0 < y < 1, 0 < z < 1 (la distribución uniforme en (0, 1)³).
2. (X, Y), (X, Z), e (Y, Z) tiene la funcion de densidad comun h(u, v) = 1 para 0 < u < 1, 0 < v < 1 (distribución uniforme en (0, 1)²).
3. X, Y, y Z tienen funcion de densidad comun g(u) = 1 para 0 < u < 1 (distribución uniforme en (0, 1)).
4. X, Y, Z son (mutumente) independientes.

4.23.

1. f(x, y, z) = 6 para 0 < x < y < z < 1.
2. f_{(X, Y)}(x, y) = 6(1 - y) para 0 < x < y < 1.
3. f_{(X, Z)}(x, z) = 6(z - x) para 0 < x < z < 1.
4. f_{(Y, Z)}(y, z) = 6y para 0 < y < z < 1.
5. f_X(x) = 3(1 - x)² para 0 < x < 1.
6. f_Y(y) = 6y(1 - y) para 0 < y < 1.
7. f_Z(z) = 3z² para 0 < z < 1.
8. Cada par de variables es dependiente.

4.25.

1. g(x) = 1 / 3 para x = 1, 2, 3 (distribución uniforme en {1, 2, 3}).
2. h(y) = 11 / 18 para 0 < y < 1, h(y) = 5 / 18 para 1 < y < 2, h(y) = 2 / 18 para 2 < y < 3.
3. X e Y son dependientes.

4.26.

1. g(p) = 6p(1 - p) para 0 < p < 1.
2. h(0) = 1 / 5, h(1) = 3 / 10, h(2) = 3 / 10, h(3) = 1 / 5.
3. X e Y son dependientes.

4.27. Las densidades empiricas conjunta y marginal son dadas en las siguientes tablas. Gender y especies son dependientes (compare la densidad conjunta con el producto de las densidades marginales).

4.28. Las densidades empiricas conjuntas y marginales, basadas en particiones del rango del peso y las alturas, son dadas en las siguientes tablas. El peso y la altura son practicamente dependientes.

4.29. Las densidades empiricas conjuntas y marginales, basadas en particiones del rango del peso y las alturas, son dadas en las siguientes tablas. El peso y la altura son practicamente dependientes.

Respuestas de la sección 5

5.9. Las densidades condicionales de U dados los diferentes valores de V se hallan la siguiente tabla.

5.10. Las densidades conjuntas y marginales son dadas en la primer tabla. Las densidades condicionales de N dados los diferentes valores de X se hallan en la segunda tabla.

5.12. Las densidades conjuntas y marginales son dadas en la primer tabla. Las densidades condicionales de I dados los diferentes valores de X se hallan en la segunda tabla.

5.14. La densidad conjunta de (V, X) y la densidad marginal de X se halla en la primer tabla. La distribución condicional de V dadoas diferentes valores de X se hallan en la segunda tabla.

5.15. Si N denota el numero de focos y T el tiempo de vida.

1. P(T > 1) = 0.1156

2. n	1	2	3	4	5
   P(N = n | T > 1)	0.6364	0.2341	0.0861	0.0317	0.0117

5.16.

1. P(N = n, X = k) = exp(-1) p^k (1 - p)^{n - k} / [k! (n - k)!] para n = 0, 1, ...; k = 0, ..., n.
2. P(X = k) = exp(-p) p^k / k! for k = 0, 1, ... (Poisson con parametro p).
3. P(N = n | X = k) = exp[-(1 - p)] (1 - p)^{n - k} / (n - k)! para n = k, k + 1, ...

5.17.

1. f(i, y) = 1 / 3i para i = 1, 2, 3 y 0 < y < i.
2. h(y) = 11 / 18 para 0 < y < 1, h(y) = 5 / 18 para 1 < y < 2, h(y) = 2 / 18 para 2 < y < 3.
3. Si 0 < y < 1 entonces g(1 | y) = 6 / 11, g(2 | y) = 3 / 11, g(3 | y) = 2 / 11.
   Si 1 < y < 2 entonces g(1 | y) = 0, g(2 | y) = 3 / 5, g(3 | y) = 2 / 5.
   Si 2 < y < 3 entonces g(1 | y) = 0, g(2 | y) = 0, g(3 | y) = 1.

5.18.

1. g(x | y) = (x + y) / (y + 1/2) para 0 < x < 1, 0 < y < 1.
2. h(y | x) = (x + y) / (x + 1/2) para 0 < x < 1, 0 < y < 1.
3. X e Y son dependientes.

5.19.

1. g(x | y) = (x + y) / 3y² para 0 < x < y < 1.
2. h(y | x) = (x + y) / [(1 + 3x)(1 - x)] para 0 < x < y < 1.
3. X e Y son dependintes.

5.20.

1. g(x | y) = 3x² / y³ for 0 < x < y < 1.
2. h(y | x) = 2y / (1 - x²) for 0 < x < y < 1.
3. X and Y are dependent.

5.21.

1. g(x | y) = 3x² para 0 < x < 1, 0 < y < 1.
2. h(y | x) = 2y para 0 < x < 1, 0 < y < 1.
3. X e Y son independientes.

5.22.

1. f(p, k) = 6 C(3, k) p^{k + 1} (1 - p)^{4 - k} para 0 < p < 1, k = 0, 1, 2, 3.
2. h(0) = 1 / 5, h(1) = 3 / 10, h(2) = 3 / 10, h(3) = 1 / 5.
3. g(p | 0) = 30 p (1 - p)⁴, g(p | 1) = 60 p² (1 - p)³, g(p | 2) = 60 p³ (1 - p)², g(p | 3) = 30 p⁴ (1 - p), 0 < p < 1.

5.23.

1. f(x, y) = 1 / x para 0 < y < x < 1.
2. h(y) = -ln(y) para 0 < y < 1.
3. g(x | y) = -1 / [x ln(y)] para 0 < y < x < 1.

5.26.

1. h(y | x) = 1 / 12 para -6 < x < 6, -6 < y < 6.
2. g(x | y) = 1 / 12 para -6 < x < 6, -6 < y < 6.
3. X , Y son independientes.

5.28.

1. h(y | x) = 1 / (x + 6) para -6 < y < x < 6.
2. g(x | y) = 1 / (6 - y) para -6 < y < x < 6.
3. X , Y son dependientes.

5.30.

1. h(y | x) = 1 / 2(36 - x²)^1/2 para x² + y² < 36
2. g(x | y) = 1 / 2(36 - y²)^1/2 para x² + y² < 36
3. X , Y son dependientes.

5.32.

1. f_{(X, Y) | Z}(x, y | z) = 2 / z² para 0 < x < y < z < 1.
2. f_{(X, Z) | Y}(x, z | y) = 1 / y(1 - y) para 0 < x < y < z < 1.
3. f_{(Y, Z) | X}(y, z | x) = 2 / (1 - x)² para 0 < x < y < z < 1.
4. f_{X | (Y, Z)}(x | y , z) = 1 / y para 0 < x < y < z < 1.
5. f_{Y | (X, Z)}(y | x , z) = 1 / (z - x) para 0 < x < y < z < 1.
6. f_{Z | (X, Y)}(z | x , y) = 1 / (1 - y) para 0 < x < y < z < 1.

Respuestas de la sección 6

6.12.

y	(-, 2)	[2, 3)	[3, 4)	[4, 5)	[5, 6)	[6, 7)	[7, 8)	[8, 9)	[9, 10)	[10, 11)	[11, 12)	[12, )
P(Y y)	0	1/36	3/36	6/36	10/36	15/36	21/36	26/36	30/36	33/36	35/36	1

v	(-, 1)	[1, 2)	[2, 3)	[3, 4)	[4, 5)	[5, 6)	[6, )
P(V v)	0	1/36	4/36	9/36	16/36	25/36	1

y	(-, 6)	[6, 7)	[7, 8)	[8, 9)	[9, 10)	[10, )
P(Y y | V = 5)	0	2/9	4/9	6/9	8/9	1

6.13.

1. P(X x) = 0 para x < a, P(X x) = (x - a) / (b - a), para a x < b, P(X x) = 1 para x b.

6.14.

1. P(X x) = 0 para x < 0, P(X x) = 4x³ - 3x⁴ para 0 x < 1, P(X x) = 1 para x b.

6.15.

1. P(X x) = 0 para x < 0, P(X x) = 1 - exp(-rx) para x 0.

6.16.

1. P(X x) = 0 para x < 1, P(X x) = 1 - 1 / x^a para x 1.

6.17.

1. P(X x) = 1/2 + (1/) arctan(x)

6.19.

2. f(1) = 1/10, f(3/2) = 1/5, f(2) = 3/10, f(5/2) = 3/10, f(3) = 1/10.
4. P(2 X < 3) = 3/5

6.20.

2. f(x) = 1 / (x + 1)² para x > 0.
4. P(2 X < 3) = 1/12.

6.21.

3. g(1) = g(2) = g(3) = 1/12.
4. h(x) = 1/4 para 0 < x < 1, h(x) = (x - 1) / 2 para 1 < x < 2, h(x) = 3(x - 1)² / 4 para 2 < x < 3.
5. P(2 X < 3) = 1/3.

6.27.

1. F^-1(p) = a + (b - a)p para 0 < p < 1.
2. min = a, Q₁ = (3a + b) /4, Q₂ = (a + b) / 2, Q₃ = (a + 3b) / 4, max = b.

6.28.

1. F^-1(p) = -ln(1 - p) / r for 0 < p < 1.
2. Q₁ = [ln(4) - ln(3)] / r, Q₂ = ln(2) / r, Q₃ = ln(4) / r, Q₃ - Q₁ = ln(3) / r.

6.29.

1. F^-1(p) = (1 - p)^-1/a para 0 < p < 1.
2. Q₁ = (3 / 4)^-1/a, Q₂ = (1 / 2)^-1/a, Q₃ = (1 / 4)^-1/a, Q₃ - Q₁ = (1 / 4)^-1/a - (3 / 4)^-1/a.

6.30.

1. F^-1(p) = tan[(p - 1/2)] para 0 < p < 1.
2. Q₁ = -1, Q₂ = 0, Q₃ = 1, Q₃ - Q₁ = 2.

6.31.

• F^-1(p) = 1, 0 < p 1/10
• F^-1(p) = 3 / 2, 1 / 10 < p 3 / 10
• F^-1(p) = 2, 3 / 10 < p 6 / 10
• F^-1(p) = 5 / 2, 6 / 10 < p 9 / 10
• F^-1(p) = 3, 9 / 10 < p 1

6.32. F^-1(p) = p / (1 - p) para 0 < p < 1.

6.33.

• F^-1(p) = 4p, 0 < p 1 / 4
• F^-1(p) = 1, 1 / 4 < p 1 / 3
• F^-1(p) = 1 + [4(p - 1 / 3)]^1/2, 1 / 3 < p 7 / 12
• F^-1(p) = 2, 7 / 12 < p 8 / 12
• F^-1(p) = 2 + [4(p - 2 / 3)]^1/3, 2 / 3 < p 11 / 12
• F^-1(p) = 3, 11 / 12 < p 1

6.41.

1. G(t) = exp[-t^{k + 1} / (k + 1)] para t > 0.
2. f(t) = t^k exp[-t^{k + 1} / (k + 1)] para t > 0.

6.44.

1. F(x, y) = (xy² + yx²) / 2 para 0 < x < 1, 0 < y < 1.
2. G(x) = (x + x²) / 2 para 0 < x < 1.
3. H(y) = (y + y²) / 2 para 0 < y < 1.
4. G(x | y) = (x² / 2 + xy) / (y + 1 / 2) para 0 < x < 1, 0 < y < 1.
5. H(y | x) = (y² / 2 + xy) / (x + 1 / 2) para 0 < x < 1, 0 < y < 1.
6. X e Y son dependientes.

6.45. Si N denota el numero total de velas. La funcion de distribución empirica de  N es una funcion a tramos; la siguiente tabla da los valores de la funcion en los puntos de saltos

n	50	53	54	55	56	57	58	59	60	61
P(N n)	1/30	2/30	3/30	7/30	11/30	14/30	23/30	36/30	28/30	1

Respuestas de la sección 7

7.4. Vea 4.6 y 4.7 .

7.5. Si Y = floor(T) y Z = ceil(T).

1. P(Y = n) = exp(-rn)[1 - exp(-r)] para n = 0, 1, ...
2. P(Z = n) = exp[-r(n - 1)][1 - exp(-r)] para n = 1, 2, ...

7.6.

7.7.

1. G(y) = y^1/2 / 2 para 0 < y < 4.
2. g(y) = y ^-1/2 / 4 para 0 < y < 4

7.8.

1. G(y) = y^1/2 / 2 para 0 < y < 1, G(y) = (y^1/2 + 1) / 4 para 1 < y < 9
2. g(y) = y ^-1/2 / 4 para 0 < y < 1, g(y) = y ^-1/2 / 8 para 1 < y < 9.

7.9.

1. G(y) = 1 - exp(-ay) para y > 0.
2. g(y) = a exp(-ay) para y > 0.

7.10.

1. G(z) = 1 - 1 / (1 + z) para z > 0.
2. g(z) = 1 / (1 + z)² para z > 0.

7.15. X = a + U(b - a) donde U es un numero aleatorio (uniformemente distribuido en  (0, 1)).

7.16. X = -ln(1 - U) / r donde U es un numero aleatorio (uniformemente distribuido en  (0, 1)).

7.17. X = 1 / (1 - U)^1/a donde U es un numero aleatorio (uniformemente distribuido en  (0, 1)).

7.20. g(y) = y ^-1/2 / 4 para 4 < y < 16.

7.21. g(y) = y⁸ para -1 < y < 2^1/3.

7.22. g(y) = ay^{a - 1} para 0 < y < 1.

7.23.

2. g(u, v) = 1/2 para (u, v) en el cuadrado de vertices (0, 0), (1, 1), (2, 0), (1, -1). Esto es, (U, V) es uniformemente distribuida en el cuadrado.
3. h(u) = u para 0 < u < 1, h(u) = 2 - u para 1 < u < 2.
4. k(v) = 1 - v para 0 < v < 1, k(v) = 1 + v para -1 < v < 0

7.24.

1. g(u, v) = u^1/2 v ^-3/2 (1 + v) para 0 < u < 1 / v, v > 1.
2. h(u) = 2(1 - u) para 0 < u < 1.
3. k(v) = (2 / 3)(1 / v³ + 1 / v²) para v > 1.

7.28. g(u, v, w) = 1 / 2 para (u, v, w) en la region rectangular de R³ con vertices

(0, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (0, 1, 1), (2, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 1), (2, 2, 2).

7.29. g(u, v) = exp[-(4u + v) / 7] / 7 para -3v / 4 < u < 2v, v > 0.

7.33. Si Y = X₁ + X₂ denota la suma de los puntos

7.35.Si Y = X₁ + X₂ denota la suma de los puntos.

7.37. Si Y = X₁ + X₂ denota la suma de los puntos.

7.38.Si h denota la densidad de Z.

1. h(z) = a² z exp(-az) para z > 0 si a = b.
2. h(z) = ab[exp(-az) - exp(-bz)] / (b - a) si a b.

7.39..

1. f^*2(z) = z para 0 < z < 1, f^*2(z) = 2 - z para 1 < z < 2.
2. f^*3(z) = z² / 2 para 0 < z < 1, f^*3(z) = 1 - (z - 1)2 / 2 - (2 - z)2 / 2 para 1 < z < 2, f^*3(z) = (3 - z)² / 2 para 2 < z < 3.

7.42.

1. G(t) = 1 - (1 - t)ⁿ para 0 < t < 1. g(t) = n(1 - t)^{n - 1} para 0 < t < 1.
2. H(t) = tⁿ para 0 < t < 1, h(t) = n t^{n - 1} para 0 < t < 1.

7.43.

1. G(t) = exp(-nrt) para t > 0, g(t) = nr exp(-nrt) para t > 0.
2. H(t) = 1 - [1 - exp(-rt)]ⁿ para t > 0, h(t) = [1 - exp(-rt)]^{n - 1} nr exp(-rt)] para t > 0

7.44. Si U denota el minimo punto y V el maximo punto.

1. P(U = k) = [1 - (k - 1) / 6]ⁿ - (1 - k / 6)ⁿ para k = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
2. P(V = k) = (k / 6)ⁿ - [(k - 1) / 6]ⁿ para k = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

7.45. Si U denota el minimo punto y V el maximo punto.

1. k	1	2	3	4	5	6
   P(U = k)	1 - (3/4)n	(3/4)n - (5/8)n	(5/8)n - (1/2)n	(1/2)n - (3/8)n	(3/8)n - (1/4)n	(1/4)n

2. k	1	2	3	4	5	6
   P(V = k)	(1/4)n	(3/8)n - (1/4)n	(1/2)n - (3/8)n	(5/8)n - (1/2)n	(3/4)n - (5/8)n	1 - (3/4)n

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