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5. Distribuciones Condicionadas

Como siempre, empezamos con un experimento aleatorio que tiene un espacio muestral R con  medida de probabilidad P en R. Suponga que X es una variable aleatoria para el experimento, tomando valores en un subconjunto S. El objetivo de esta seccion es estudiar la medida de probabilidad condicional en R dado X = x, para x en S. Esto es, deseariamos estudiar y definir 

    P(A | X = x) para A subset R y para x en S.

Veremos que si  X tiene una distribución discreta , no hay nuevos conceptos, y la simple definicion de probabilidad condicional es suficiente.  Cuando X tiene una distribución continua, son necesarios nuevos conceptos.

Definiciones y propiedades básicas

Suponga primero que X tiene una distribución discreta con función de densidad g. Esto es, S es numerable y podemos asumir que g(x) > 0 para x en S.

Mathematical Exercise 1. Pruebe que 

P(A | X = x) = P(X = x, A) / g(x) para A subset R, x en S.

Mathematical Exercise 2. Pruebe la siguiente version de la ley de probabilidad total

P(X in B, A) = sumx en B P(A | X = x)g(x) para A subset R, B subset S.

Reciprocamente, la ley total de probabilidad caracteriza completamente la distribución condiciona dado X = x.

Mathematical Exercise 3. Suponga que Q(x, A), para  x in S, A subset R, satisface

P(A, X in B) = sumx en B Q(x, A) g(x) para B subset S.

Pruebe que Q(x, A) = P(A | X = x) para x in S, A subset R.

Suponga ahora que X tiene una distribución continua en S subset Rn, con función de densidad g. Asumimos que g(x) > 0 para  x en S. Salvo para el caso discreto, no podemos usar probabilidad condicional simple para definir la probabilidad condicional de un evento dado X = x, porque el evento condicionante tiene probabilidad 0 para cualquier x. Sin embargo, el concepto debe tener sentido. Si efectivamente realizamos el experimento, X tomará en alguna prueba el valor x (aún cuando  a priori, este evento ocurre con probabilidad 0), y seguramente la información de que X = x alterará en general las probabilidades que asignamos a otros eventos. Una aproximación natural es usar el resultado obtenido en el caso discreto como definiciones en el caso continuo. Es decir, basado en la caracterizacion previa, definimos la probabilidad condicional

P(A | X = x) para x en S, A subset R.

mediante el requerimiento de que la ley de probabilidad total se cumpla:

P(A, X in B) = B P(A | X = x) g(x)dx para cualquier B subset S.

Por ahora, aceptaremos que P(A | X = x) puede ser definida por esta condición. De todas formas, retornaremos a este punto en la sección Esperanza condicional en el capítulo Valor esperado.

 El Teorema de Bayes, en honor a  Thomas Bayes, da una fórmula para la densidad condicional de X dado A, en términos de la densidad de X y de  la probabilidad condicional de  A dado X = x.

Mathematical Exercise 4. Sea A un evento con P(A) > 0. Pruebe que la densidad condicional de X dado A es

  1. g(x | A) = g(x)P(A | X = x) / sums en S g(s)P(A | X = s) si  X es discreta.
  2. g(x | A) = g(x)P(A | X = x) / S g(s)P(A | X = s)ds si X es continua.

En el contexto del teorema de Bayes, g se llama la densidad a priori de X y g( · | A) es la  densidad a posteriori  de X dado A.

Densidades Condicionales

The definitions and results above apply, of course, if A is an event defined in terms of another random variable for our experiment.

Suponga que Y es uan variable aleatoria que toma valores en un conjunto T. Entonces (X, Y) es una variable que toma valores en el conjunto producto S × T, el cual suponemos que tiene  función de densidad de probabilidad  conjunta  f. (En particular, estamos asumiendo una distribución de tipo standard:  conjuntamente discreta, conjuntamente continua con densidad, o componentes mixtas con densidad). Como antes, g denota la función de densidad de X y asumimos g(x) > 0 para x en S. 

Mathematical Exercise 5. Pruebe que h(y | x) definida debajo es una función de densidad en y para cada  x en S:

h(y | x) = f(x, y) / g(x) para x in S, y in T.

El siguiente ejercicio prueba que h(y | x), como una función de y, es la densidad condiconal de Y dado X = x.

Mathematical Exercise 6. Pruebe que para  x in S, B subset T,

  1. P(Y in B | X = x) = sumy en B h(y | x) si  Y tiene una distribución discreta.
  2. P(Y in B | X = x) = B h(y | x)dy si Y tiene una distribución continua.

El siguiente teorema da el  teorema de Bayes para funciones de densidad. Usaremos la notación establecida previamente, y además, sea g(x | y) la densidad condicional de X en  x perteneciente a S dado Y = y en T.

Mathematical Exercise 7. Pruebe que para x en S, y en T,

  1. g(x | y) = h(y | x) g(x) / sums en S h(y | s) g(s) si X tiene una distribución discreta.
  2. g(x | y) = h(y | x) g(x) / S h(y | s) g(s)ds si X tiene distribución continua.

En el contexto del teorema de Bayes, g es densidad a priori de X y g(· | y) es la densidad a posteriori de X dado Y = y.

Intuitivamente, X e Y deben ser independientes, si y solo si la distribuciones condicionales son las mismas que la correspondientes distribuciones incondicionadas.

Mathematical Exercise 8. Pruebe que las siguienets condiciones son equivalentes:

  1. X e Y son independientes.
  2. h(y | x) = h(y) para cada x in S e y in T.
  3. g(x | y) = g(x) para cada x in S e y in T.

En muchos casos, la distribución condicional surge cuando un parámetro de una distribución es aleatorizado. Note esta situación en algunos de los ejercicios que siguen.

Ejercicios computacionales

Mathematical Exercise 9. Suponga que dos dados son lanzados y la sucesión de puntos es (X1, X2) Sea U = min{X1, X2} y V = max{X1, X2} que denotan el mínimo y el máximo de los puntos, rspectivamente.

  1. Halle la densidad condicional de U dado que V = v para cada v in {1, 2, ..., 6}
  2. Halle la densidad condicional de V dados que U = u para cada u in {1, 2, ..., 6}

Mathematical Exercise 10. En el experimento de la moneda-dado, un dado es lanzado y luego una moneda se arroja la misma cantidad de veces que indica el dado. Si N denota los puntos del dado y X el numero de caras.

  1. Halle la densidad conjunta de (N, X).
  2. Halle la densidad de X.
  3. Halle la densidad condicional de N dado X = k para cada  k.

Simulation Exercise 11. En el experimeno de la moneda-dado, select the fair die and coin.

  1. Realice la simulación 1000 veces, updating cada 10 corridas. Compare la función de densidad empirica de X con la función de densidad real del ejercicio previo
  2. Realice la simulación 200 veces, updating l;uego de cada realizacion. Calcule la función de densidad condicional empirica de N dado X = k para cada k, y compare con la función de densidad del ejercicio anterior

Mathematical Exercise 12. En el experimento del dado y la moneda, una moneda es lanzada.Si la moneda es ceca un dado es lanzado.Si la moneda es cara un dado de seis caras especial es lanzado (las caras 1 y 6 tienen probabilidad 1/4 cada una y las caras 2, 3, 4, 5 tiene probabilidad 1/8 cada una). Si I denota el resulatdo de lanzar la monedad (0 para ceca y  1 para cara) y X los puntos del dado.

  1. Halle la densidad conjunta de (I, X).
  2. Halle la densidad de X.
  3. Halle la densidad condiconal de I dado que X = x para cada x en {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Simulation Exercise 13. En el  experimento de la moneda y el dado, select settings of the previous exercise.

  1. Realice la simulación 1000 veces, updating cada 10 corridas. Compare la función de densidad empirica de X con la densidad real en el ejercicio previo.
  2. Realice la simulación 200 veces, updating luego de cad realizacion. Calcula la función de densidad condicional empirica de I dado X = 2, y compare con la funcuion de densida del ejercicio anterior.

Mathematical Exercise 14. Suponga que una caja contiene 12 monedas: 5 son regularesr, 4  tienen porbabilidad de cara 1/3, and 3 are two-headed. Una moneda es escogida aleatoriamente y lanzada dos veces. Si V denota la probabilidad de caras de la moneda seleccionada, y X el numero de caras.

  1. Halle la densidad conjunta de (V, X).
  2. Halle la función de densidad de X.
  3. Halle la densidad condicional de V dado X = k para k = 0, 1, 2.

Mathematical Exercise 15. Suponga que en una caja hay 5 focos de luz, labeled 1 to 5. El tiempo de duracion de los focos n (en meses) tiene una distribución exponencial con parámetro n. Un fco es tomado aleatoriamnete de lacaja y testeado.

  1. Halle la probabilidad de que el foco tomado dure mas de un mes.
  2. Dado que el foco duar mas de un mes, halle la densida condiconal del numero de foco.

Mathematical Exercise 16. Suponga que N tiene una distribución de Poisson con parámetro 1, y es dado que N = n, X tien una distribución binomial con parametros n y p.

  1. Halle la densidad conjunta de (N, X).
  2. Halle la densidad de X.
  3. Halle la densidad condicionald de N dado X = k.

Mathematical Exercise 17. Suponga que X esta uniformente distribuida en {1, 2, 3},y  es dado que X = i, Y es uniformemente distribuida en el intervalo (0, i).

  1. Halle la densidad conjunta de (X, Y).
  2. Halle la densidad de Y.
  3. Halle la densidad condicional de X dado Y = y para y en (0, 3).

Mathematical Exercise 18. Suponga que (X, Y) tiene una función de densidad f(x, y) = x + y para 0 < x < 1, 0 < y < 1.

  1. Halle la densidad condicional de X dado Y = y
  2. Halle la densidad condicional de Y dado X = x
  3. Son X e Y independientes?

Mathematical Exercise 19. Suponga que (X, Y) tiene función de densidad f(x, y) = 2(x + y) para 0 < x < y < 1.

  1. Halle la densidad condicional de X dado Y = y
  2. Halle la densidad condicional de Y dado X = x
  3. Son X e Y independientes?

Mathematical Exercise 20. Suponga que (X, Y) tienen función de densidad f(x, y) = 15 x2y para 0 < x < y < 1.

  1. Halle la densidad condicional de X dado Y = y
  2. Halle la densidad condicional de Y dado X = x
  3. Son X e Y independientes?

Mathematical Exercise 21. Suponga quet (X, Y) tiene función de densidad f(x, y) = 6 x2y para 0 < x < 1, 0 < y < 1.

  1. Halle la densidad condicional de X dado Y = y
  2. Halle la densidad condicional de Y dado X = x
  3. Son X e Y independientes?

Mathematical Exercise 22. Suponga que V tiene densidad g(p) = 6p(1 - p) para 0 < p < 1. Dado que V = p, una moneda con probabilidad de cara p es lanzada 3 veces. Si X denota el numero de caras.

  1. Halle la densidad conjunta de (V, X).
  2. Halle la densidad de X.
  3. Halle la densidad condicional de V dado que X = k para k = 0, 1, 2, 3. Grafique esto en los mismos ejes.

Compare el  Ejercicio 22 con el Ejercicio 14. En el Ejercicio 22, elegimos una moneda de una caja con tipos infinotos y continuis de monedas ( we effectively choose a coin from a box with a continuous infinity of coin types.)

Mathematical Exercise 23. Suponga que X esta uniformente distribuida en (0, 1), y es dado que X = x, Y es uniformente distribuida en (0, x).

  1. Halle la densidad conjunta de (X, Y).
  2. Halle la densidad de Y.
  3. Halle la densidad condicional de X dado Y = y en (0, 1).

Distribuciones Multivariadas Uniformes

Distribuciones Multivariadas uniforme dan un interpretacion geometrica de algunos de los conceptos de esta seccion. Recuerde primero que la medida standard en Rn es

mn(A) = A 1dx para A subset Rn.

En particular, m1 es la medida de longitud de R, m2 es la medida de area en R2, y m3 es la medida de volumen  en R3.

Suponga ahora que X toma valores en Rj , que Y toma valores en Rk, y que (X, Y) es uniformemente distribuida en R subset Rj + k donde mj + k(R) es positivo y finito. Es decir, por definicion, la densidad conjunta de (X, Y) es

f(x, y) = 1 / mj + k(R) para (x, y) in R (y f(x, y) = 0 en cualquier otro caso).

Mathematical Exercise 24. Pruebe que la distribución condicional de  Y dado X = x es uniformemente distribuida en la seccion cruzada ( the cross section)

{y in Rk: (x, y) inR}.

Mathematical Exercise 25. Pruebe que la distribución condicional de  X dado Y = y es uniformemente distribuida en la seccion cruzada

{x in Rj: (x, y) inR}.

En la ultima seccion en Distribuciones conjuntas, vimos que le aunque (X, Y) se uniformemente distribuida, las distribuciones marginales de X e Y no son uniformente distribuidasa en general. Sin embargo, como acabamos de ver, las distribuciones condicionales son siempre uniformes.

Mathematical Exercise 26. Suponga que (X, Y) es uniformemente distribuida en el cuadrado R = [-6, 6]2.

  1. Halle la densidad condicional de Y dado X = x in(-6, 6).
  2. Halle la densidad condicional de X dado Y = y in(-6, 6).
  3. Pruebe que X e Y son independientes.

Simulation Exercise 27. En el  experimento uniforme de dos variables, seleccione square en el cuadrado que contiene la lista. Realice la simulación 5000 veces, actualizando cada 10 corridas. Observe los puntos en el  gráfico de dispersión y grafique las distribuciones marginales. Interprete lo que ve en el contexto de lo discutido previamente.

Mathematical Exercise 28. Suponga que (X, Y) es uniformemente distribuida en le triangulo R = {(x, y): -6 < y < x < 6} subset R2.

  1. Halle la densidad condicional de Y dado X = x in(-6, 6).
  2. Halle la densidad condicional de X dado Y = y in(-6, 6).
  3. Pruebe que X e Y son independientes.

Simulation Exercise 29. In the experimento uniforme de dos variables, select triangle in the list box. Realice la simulación 5000 veces, updating cada 10 realizaciones. Observe los puntos en el  scatter plot y grafique las distribuciones marginales. Interprete lo que ve en el contexto de lo discutido previamente.

Mathematical Exercise 30. Suponga que (X, Y) es uniformemente distribuida en el circulo R = {(x, y): x2 + y2 < 36}.

  1. Halle la densidad condicional de Y dado X = x in(-6, 6).
  2. Halle la densidad condicional de X dado Y = y in(-6, 6).
  3. Pruebe que X e Y son independientes.

Simulation Exercise 31. In the experimento uniforme de dos variables, select circle in the list box. Realice la simulación 5000 veces, updating cada 10 realizaciones. Observe los puntos en el  scatter plot y grafique las distribuciones marginales. Interprete lo que ve en el contexto de lo discutido previamente.

Mathematical Exercise 32. Suponga que (X, Y, Z) es uniformemente distribuidad en R = {(x, y, z): 0 < x < y < z} subset R3.

  1. Halle la densidad condicional de cada par de variables dado un valor de la tercer variable.
  2. Halle la densidad condiconal de cada variable dados valores de las otras dos

Mezcla de Distribuciones 

Con nuestros conjuntos usuales S y T, como antes, suponga que Px es una medida de probabilidad en  T para cada x in S. Suponga tambien que g es una función de densidad de probabilidad en S. Podemos obtener una nueva medida de probabilidad en T  promediando(o mezclando) la distribución dada acorde a g.

Mathematical Exercise 33. Primero suponga que S es numerable, y que g es una función de densidad de probabilidad discreta en S. Prueb que  P definida debajo es una medida de probabilidad en T:

P(B) = sumx en S g(x) Px(B) para B T.

Mathematical Exercise 34. In the setting of the previous exercise, suponga que Px es una distribución discreta (respectivamente contina) con  función de densidad hx para cada x en S. Pruebe que P es tambien discreta (respectivamente continua) con función de densidad h dada por

h(y) = sumx en S g(x) hx(y) para y en T.

Mathematical Exercise 35. Suponga ahora que S es un subconjunto de Rn y que  g es una función de densidad de probabilidad continua en S. Pruebe que P definida debajo es una medidad de probabilidad en T:

P(B) = S g(x)Px(B)dx para B T.

Mathematical Exercise 36. In the setting of the previous exercise, suponga que Px es una distribución discreta (respectivamente contina) con  función de densidad hx para cada x en S. Pruebe que P es tambien discreta (respectivamente continua) con función de densidad h dada por

h(y) = S g(x) hx(y) dx para y en T.

En ambos casos, la distribución P se dice ser una  mezcla de las distribuciones Px, x in S, con  densidad de mezcla g.

Uno puede tener mezcla de distribuciones, sin tener variables aleatorias definidas en el mismo espacio de probabilidad. Sin embargo, las mezclas estan intimamente relacionadas a distribuciones condiconadas. volviendo a nuetro usual setup, suponga que X e Y son variables aleatorias de un experimento, tomando valores en S y T respectivamente. Suponga que X tiene una distribución discreta o continua, con densidad g. El siguiente ejercicio es un restatement de la ley de probabilidad total.

Mathematical Exercise 37. Pruebe que la distribución de Y es una mezcla de las distribuciones condicionales de Y dado X = x, sobre x en S, con densidad de mezcla g.

Mathematical Exercise 38. Suponga que X es una variable aleatoria tomando valores en S Rn, con una distribución discreta y continua a mezclada. Pruebe que la distribución de X es una mezcla de una distribución discreta y una continua, en el sentido definido aqui.

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