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7. Transformaciones de Variables

El Problema General 

Como siempre, comenzemos con un experimento aleatorio teniendo un espacio muestral y una medida de probabilidad P. Suponga que tenemos una variable aleatoria X para el experimento, tomando valores en S, y una transformacion r: S T. Entonces Y = r(X) es una nueva variable aleatoria tomando valores en T. Si la distribución de X es conocida, como hallamos la distribución de Y? En un sentido superficial, la solucion es sencilla.

1. Pruebe que

P(Y B) = P[X r ^-1(B)] para B T.

Sin embargo, frecuentemente la distribución de X es conocida  por medio de su función de distribución F o su función de densidad f, deseariamos de igual manera hallar la función de distribución o de densidad de Y. Este es un probelma dificil en general, porque como veremos, aun transformaciones simples de variables con distribuciones simples lleva a variables con complejas distribuciones . Resolveremos este problema en varios casos especiales.

Transformaciones Discretas

2. Suponga que  X tiene una distribución discreta con densidad f (y luego S es numerable). Pruebe que Y tiene una distribución  discreta con función de densidad g dada por

g(y) = _{x en r-1(y)} f(x) para y en T.

3. Suponga que X tiene una distribución continua en un subconjunto S de Rⁿ, con densidad f, y que T es numerable. Pruebe que Y tiene una distribución discreta con función de densidad g dada por

g(y) = _r-1(y) f(x)dx para y en T.

4. Suponga que un par de dados es lanzado y sea (X₁, X₂) la sucesion de puntos. Halle la densidad de las siguientes variables aleatorias:

1. Y = X₁ + X₂.
2. Z = X₁ - X₂.
3. U = min{X₁, X₂}
4. V = max{X₁, X₂}
5. (Y, Z)
6. (U, V)

5. Suponga que T tiene una función de densidad  f(t) = r exp(-rt), t > 0 donde r > 0 es un parametro. ( Esto es la distribución exponencial con parametro r). Halle la función de densidad de las siguientes variables aleatorias:

1. floor(T) (el mayor entero menor o igual a  T).
2. ceil(T) (el menor entero mayor o igual a T).

6. Suponga que (X, Y) tiene una función de densidad f(x, y) = x + y para 0 < x < 1, 0 < y < 1. Si I denota la variable (the indicator variable) del evento {X > 1/2} y J the indicator variable del evento {Y > 1/2}. Halle la densidad de (I, J).

Distribuciones Continuas

Suponga que Y = r(X) donde X e Y tiene distribución continua, y X tiene densidad conocida f. En muchos casos, la densidad de Y puede ser hallada encontrando primero la distribución de Y (usando reglas de probabilidad) y luego calculando la derivada de la función de distribución.

7. Suponga que X es uniformemente distribuida en el intervalo (-2, 2). Si Y = X².

1. Halle la función de distribución de Y.
2. Halle la función de densdad de Y. Realice el grafico.

8. Suponga que X es uniformemente distribuida en el intervalo (-1, 3). Si Y = X².

1. Halle la función de distribución de Y.
2. Halle la función de densdad de Y. Realice el grafico..

El ultimo ejercicio muestra que una simple transformacion puede convertir un distribución simple en una distribución complicada.

9. Suponga que X tiene función de densidad f(x) = a / x^{a + 1} para x > 1, donde a > 0 es un parametro (esta es la distribución de Pareto con parametro de forma a). Si Y = ln(X).

1. Halle la función de distribución de Y.
2. Halle la función de densdad de Y. Realice el grafico..

Note que la variable aleatoria Y en el ejercicio previo tiene una distribución exponencial; con parametro a.

10. Suponga que (X, Y) tiene densidad f(x, y) = exp(-x -y) para x > 0, y > 0. Luego,  X e Y son  independientes, y cada una tiene distribución exponencial con parametro 1. Sea Z = Y / X.

1. Halle la función de distribución de Z.
2. Halle la función de densdad de Z. 

11. Valor absoluto de una variable aleatoria. Suponga que X tiene distribución continua en R con función de distribución  F y función de densidad f. Pruebe que

1. |X| tiene función de distribución G(y) = F(y) - F(-y) para y > 0.
2. |X| tiene función de densidad g(y) = f(y) + f(-y) para y > 0.

12. Continuaciion. Suponga que la densidad f de X es simetrica con respecto a 0. Si J denota el signo de X, es decir que J = 1 si X > 0, J = 0 si X = 0, y J = -1 si X < 0. Pruebe que 

1. |X| tiene función de distribución G(y) = 2F(y) - 1 para y > 0.
2. |X| tien función d densidad g(y) = 2f(y) para y > 0.
3. J es uniformemente distribuida en {-1, 1}
4. |X| y J son independientes.

La Distribución Uniforme en (0, 1)

Un hecho remarcable es que la distribución uniforme en (0, 1) puede ser transformada en cualquier otra distribución en  R. Esto es particularmente importante en simulaciones, dado que muchos lenguajes de computacion tiene algoritmos para generar numeros aleatorios, que son simulaciones de variables independientes, cada una uniformemente distribuida en (0, 1). Reciprocamente, cualquier distribución continua en un intervalo de R puede ser transformada en una distribución uniforme en (0, 1).

Suponga primero que F es una función de distribución y  F^-1 denota la función cuantil .

13. Suponga que U es uniformemente distribuida en (0, 1). Pruebe que X = F^-1(U) tien función de distribución F.

Asuminendo que podemos calcular F^-1, el ejercicio previo prueba como podemos simular una distribución con función de distribución F. Reenunciando el resultado, podemos simular una variable con función de distribución F calculando un cuantil aleatorio.

14. Suponga que X tien una distribución continua en un intervalo S y que la función de distribución F es estrictamente creciente en S. Pruebe que U = F(X) tien una distribución uniforme en (0, 1).

15. Pruebe como simular, con un numero aleatorio, la distribución uniforme en el intervalo (a, b).

16. Pruebe como simular, con un numero aleatorio, la distribución exponencial con parametro r > 0.

17. Pruebe como simular, con un numero aleatorio, la distribución Pareto con parametro de forma a > 0.

La Formula de Cambio deVariables

Cuando la transformacion r es uno a uno y suave, existe un formula para la densidad de Y en terminos de la densidad de X. Esta es conocida como la formula de cambio de variables. 

Exploraremos primero el caso unidimensional, donde los conceptos y formuals son mas simples. Suponga que la variable aleatoria X tien una distribución continua en un intervalo S de R, con función de distribución F y función de densidad f. Suponga que Y = r(X) donde r es uan función diferenciable de S en un intervalo T. Como siempre,  G denotara la función de distribución de Y y g la función de densidad de Y.

18. Suponga que r es estrictamente creciente en S. Pruebe que para y en T, 

1. G(y) = F[r^-1(y)]
2. g(y) = f[r^-1(y)] dr^-1(y) / dy

19. Suponga que r es estrictamente decreciente en S.  Pruebe que para y en T, 

1. G(y) = 1 - F[r^-1(y)]
2. g(y) = -f[r^-1(y)] dr^-1(y) / dy

Las formulas en el Ejercicio 18 (a) y 19 (b) pueden ser combinadas: si r es estrictamente monotona  en S entonces la densidad g de Y esta dada por

g(y) = f[r^-1(y)] |dr^-1(y) / dy| for y in T.

La generalizacion de este resultado es un teorema en calculo en varias variables. Suponga que X es uan variable aleatoria tomando valores en un subconjunto S de Rⁿ y que X tiene una distribución continua con función de probabilidad f. Suponga que Y = r(X) donde r es una función diferenciable uno a uno de S en un subconjunto T de Rⁿ. EL Jacobiano (llamado esi en honor a  Karl Gustav Jacobi) de la función inversa

x = r ^-1(y)

es el deterrminante de la matriz de la primer derivada de la función inversa, esto es, la matriz tal que el elemento (i, j) es la derivada de x_i respecto a y_j. Denotaremos el  Jacobiano por J(y). La formula de cambio de varias variables dice que la densidad g de Y esta dada por

g(y) = f[r^-1(y)] |J(y)| for y in T.

20. Suponga que X es uniformemente distribuida en el intervalo (2, 4). Halle la función de  densidad de Y = X².

21. Suponga que X tiene la función de densidad f(x) = x² / 3 para –1 < x < 2. Halle la función de  densidad de Y = X^1/3.

22. Suponga que X tiene la distribución Pareto con parametro de forma a > 0. Halle la función de  densidad de Y = 1/X. La distribución de Y es la distribución beta con parametros a y b = 1.

23. Suponga que X e Y son independientes y cada una es  uniformemente distribuida en (0, 1). Sea U = X + Y y V = X - Y.

1. Sketch el rango de (X, Y) y el rango de (U, V).
2. Halle la función de  densidad de (U, V).
3. Halle la función de  densidad de U.
4. Halle la función de  densidad de V.

Algunos de los resulatdos del ejercicio previo seran generalizados en la siguiente subseccion.

24. Suponga que (X, Y) tiene función de densidad en probabilidad f(x, y) = 2(x + y) para 0 < x < y < 1. Sea U = XY y V = Y/X.

1. Sketch el rango de (X, Y) y el rango de (U, V).
2. Halle la función de  densidad de (U, V).
3. Halle la función de  densidad de U.
4. Halle la función de  densidad de V.

Transformaciones lineales

Transformaciones lineales son las tranformaciones mas comunes e importantes. Ademas, el teorema de cambio de variable tiene una forma particular simple cuando la transformscion lineal es expresada en forma de matriz. Suponga que X es un variable aleatoria tomando valores en un subconjunto S de Rⁿ y que X tiene una distribución continua en S con función de densidad en probabilidad f. Sea

Y = AX

donde A es una matriz de n × n invertible. Recuerde que la transformacion  y = Ax es uno a uno, y la transformacion inversa es

x = A^-1y.

Note que Y toma valores en le subconjunto T = {Ax: x S} de Rⁿ.

25. Pruebe que el Jacobiano es J(y) = det(A^-1) para y en T.

26. Aplique le teorema de cambio de variable para probar que Y tiene función de densidad

g(y) = f(A^-1y) |det(A^-1)| para y en T.

La transformacion uniforme es preservada bajo transformaciones lineales:

27. Suponga que X es uniformemente distribuida en S. Pruebe que Y es uniformemente distribuida en T.

28. Suponga que (X, Y, Z) es uniformemente distribuida en el cubo (0, 1)³. Halle la función de densidad de

(U, V, W) donde U = X + Y, V = Y + Z, W = X + Z.

29. Suponga que (X, Y) tiene función de densidad f(x, y) = exp[-(x + y)] para x > 0, y > 0 (esto es, X e Y son independientes, y cada una tiene distribución exponencial con parametro 1). Halle la función de densidad de

(U, V) donde U = X + 2Y, V = 3X - Y.

Convolucion

La transformacion mas importante es la adicion.

30. Suponga que X e Y son independientes, variables aleatorias discretas, tomando valores en subconjuntos S y T de R, con funciones de densidad f y g, respectivamente. Pruebe que la densidad de Z = X + Y es

f * g(z) = _x f(x)g(z - x)

donde la suma es sobre {x R: x S y z - x T}. La densidad f * g se llama la convolucion discreta de f y g.

31. Suponga que X e Y son independienes, variables aleatorias continuas, tomando valores en subconjuntos S y T de R, con funciones de densidad f y g, respectivamente.Pruebe que la densidad de Z = X + Y es

f * g(z) = _R f(x)g(z - x)dx.

La densidad f * g se llama la convolucion continua de f y g.

32. Pruebe que la convolucion (tanto la discreta como la continua) satisface las siguientes propiedades

1. f * g = g * f ( propiedad conmutativa)
2. f * (g * h) = (f * g) * h ( propiedad asociativa)

Note que si X₁, X₂, ..., X_n son independientes e identicamente distribuidas con función de densidad comun f, entonces

Y = X₁ + X₂ + ··· + X_n.

tiene función de densidad f^*n, la n- convolution de f con ella misma.

33. Suponga que dos dados son lanzados. Halle la densidad de la suma de los puntos.

34. En el experimento del dado, seleccione dos dados. Realice la simulacion 1000 veces, updating cada 10 realizaciones y note la aparete convergencia de la función de densidad empírica a al función de densidad real.

35.Sea un dado en el cual, las caras 1 y 6 ocurren con probabilidad 1/4 cada una y las otras con probabilidad 1/8 cada una. Suponga que es lanzado dos veces. Halle la función de dnesidad de la suma de los puntos.

36. En el experimento de los dados, elija dos dados como los del ejercicio anterior. Realice la simulacion 1000 veces, updating cada 10 realizaciones y note la convergencia aparente de la función de desidad empírica a la función de dnesidad real.

37. Un dado normal y uno como el del ejercio anterior son lanzados.Halle la función de densidad de la suma de los puntos.

38. Suponga que X tiene distribución exponencial con parametro a > 0, Y tiene distribución exponencial con parametro b > 0, y que  X eY son independientes. Halle la densidad de Z = X + Y.

39. Si f denota la función de densidadd de la distribución uniforme en (0, 1). Calcule f^*2 y f^*3. Grafique las tres densidades.

Varias familias parametricas de distribución son cerradas bajo convoluciones. Esto significa que cuando dos variables aleatorias independientes tienen distribuciones que pertenecen a la familia entonces la suma tambien. Esta es un proepiedad importante y es una de las razones por la cual tales familias son importantes.

40. Recuerde que f(n) = exp(-t) tⁿ / n! para n = 0, 1, 2, ... es la función de densidad de probabilidad de la distribución de Poisson con parametro t > 0. Suponga que X e Y son  variables independientes, y que X tiene distribución Poisson con parametro a > 0 mientras que Y tien distribución de Poisson con parametro b > 0. Purebe que X + Y tiene la distribución Poisson con parametro a + b. Pista: Necesitara usar el teorema binomial

41. Recuerde que f(k) = C(n, k) p^k (1 - p)^{n - k} para k = 0, 1, ..., n es la función de densidad de probibilidad de la distribución binomial con parametros n en {1, 2, ...} y p en (0, 1). Suponga que X e Y son variables independientes, y que X tiene al distribución binomial con parametros n y p  mientras quee Y tiene la distribución binomial con parametro m y p. Pruebe que X + Y tiene la distribución binomial con parametros n + m y p. Pista: Necesitara usar el teorema binomial

Mínimo y Máximo

Supobga que X₁, X₂, ..., X_n son variables aleatorias a valores reales independientes y que X_i tiene función de distribución F_i para cada i. Las transformaciones mínimo y máximo son importantes en muchas aplicaciones. Especificamente, sean 

• U = min{X₁, X₂, ..., X_n}
• V = max{X₁, X₂, ..., X_n}

 y G y H las funciones de distribución de U y V respectivamente.  . 

42.  Pruebe que

1. V x si y solo si X₁ x, X₂ x, ..., X_n x.
2. H(x) = F₁(x) F₂(x) ··· F_n(x) para x en R.

43. Pruebe que

1. U > x si y solo si X₁ > x, X₂ > x, ..., X_n > x.
2. G(x) = 1 - [1 - F₁(x)][1 - F₂(x)] ··· [1 - F_n(x)] para x en R.

Si X_i tiene distribución continua con función de densidad f_i para cada i, entonces U y V tambien tienen distribución continua, y las densidades pueden obtenerse diferenciando las funciones de distribución en Ejercicio 37, 38.

44. Suponga que X₁, X₂, ..., X_n son variables aleatorias independientes, cada una uniformemente distribuida en (0, 1). Halle la función de distribución y de densidad de

1. U = min{X₁, X₂, ..., X_n}
2. V = max{X₁, X₂, ..., X_n}

Note que U y V en el ejercicio previo tienen distribución beta.

45. En el  order statistic experiment, seleccione la distribución uniforme. 

1. Si k = 1 (esto da el mínimo de U). Vary n with the scroll bar y observe la forma de la función de densidad. Con n = 5, realice la simulacion 1000 veces, updating cada  10 realizaciones. Note la convergencia aparente de la función de densidad empírica a la función de densidad real.
2. Vary n with the scroll bar, si k = n cada vez (esto da el máximo de V), y observe la forma de la función de densidad. Con n = 5, realice la simulacion 1000 veces, updating cada 10 realizaciones. Note la convergencia aparente de la función de densidad empírica a la función de densidad real.

46. Suponga que X₁, X₂, ..., X_n son variables aleatorias independientes, y que X_i tiene distribución esponencial con parametro r_i > 0 para cada i. Halle la función de distribución y de densidad de

1. Halle la función de distribución de U = min{X₁, X₂, ..., X_n}
2. Halle la función de distribución de  V = max{X₁, X₂, ..., X_n}
3. Halle la función de  densidad de U y V en el caso especial de r_i = r para cada i. 

Note que el mínimo U en la parte (a) tiene distribución exponencial con parametro

r₁ + r₂ + ··· + r_n.

47. En el order statistic experiment, elija la distribución exponencial. 

1. Si k = 1 (esto da el mínimo de U). Vary n with the scroll bar y observe la forma de la función de densidad. Con n = 5, realice la simulacion 1000 veces, updating cada  10 realizaciones. Note la convergencia aparente de la función de densidad empírica a la función de densidad real.
2. Vary n with the scroll bar, si k = n cada vez (esto da el máximo de V), y observe la forma de la función de densidad. Con n = 5, realice la simulacion 1000 veces, updating cada 10 realizaciones. Note la convergencia aparente de la función de densidad empírica a la función de densidad real.

48. Suponga que n dados son lanzados. Halle la función de densidad de

1. mínimo punto
2. máximo punto.

49. En el experimento del dado, elija cada una de las variables aleatorias siguientes. Varíe n con la barra de desplazamiento, si k = n cada vez, y observe la forma de la función de densidad. Con n = 4, realice la simulación 1000 veces, actualizando cada 10 realizaciones. Note la convergencia aparente de la función de densidad empírica a la función de densidad real.

1. mínimo punto
2. máximo punto.

50. Suponga que n dados con probabilidad 1/4 de que salga la cara 1 y 6 cada una, las restantes 1/8 son lanzados . Halle la función de densidad del

1. mínimo punto
2. máximo punto.

51. En el experimento del dado, elija un dado como el anterior y cada una de las variables aleatorias siguientes. Varíe n con la barra de desplazamiento, si k = n cada vez, y observe la forma de la función de densidad. Con n = 4, realice la simulación 1000 veces, actualizando cada 10 realizaciones. Note la convergencia aparente de la función de densidad empírica a la función de densidad real.

1. mínimo punto
2. máximo punto.

Para ver un tema relacionado, vea estatidística de orden en el capítulo de Muestras Aleatorias.

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