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8. Convergencia en Distribución

Definición

Supongamos que Xn, n = 1, 2, ... y X son  variables aleatorias reales con función de distribución Fn, n = 1, 2, ... y  F, respectivamente. Diremos que la distribución de  Xn converge a la dsitribución de X cuando  n converges to si

Fn(x) converges to F(x) cuando n converges to para todo  x en donde  F es continua.

El primer hecho que hay que notar es que la convergencia en distribución solo involucra las distribuciones de  variables aleatorias. Es decir, las variables aleatorias no necesitan ser definidas en el mismo espacio de probabilidad ( no necesitan ser definidas para el mismo  experimento aleatorio). Esto contrasta con los otros modos de convergencia antes estudiados:

Prabaremos que la convergencia en distribución es la mas debil entre estos modos de convergencia. El Teorema Central del límite, uno de los dos teoremas fundamentales de la teoría de probabilidades, es un teorema sobre convergencia en distribución.

Nuestro primer ejemplo muestra por qué la definición está dada en términos de funciones de distribución y no en funciones de densidad, y porque la convergencia es solo requerida en los puntos de continuidad de la distribución límite.

Mathematical Exercise 1. Sea Xn = 1 / n, para n = 1, 2, ... y sea  X = 0. Sean  fn y  f  las correspondientes funciones de densidad y sean Fn y F las correspondientes funciones de distribución. Puebe que

  1. fn(x) converges to 0 cuando n converges to para todo x.
  2. Fn(x) converges to 0 cuando n converges to si x <= 0 y Fn(x) converges to 1 cuando n converges to si x > 0
  3. Fn(x) converges to F(x) cuando n converges to para todo l x <> 0.

Nuestro próximo ejemplo muestra que aun cuando las variables  estan definidas en le mismo espacio de probabilidades, una sucesion puede converger en distribución y no en cualquier otro modo.

Mathematical Exercise 2. Sea I una variable indicadora con P(I = 1) = 1/2, y sean  In = I para n = 1, 2, .... Pruebe que

  1. 1 - I  tiene la misma distribución que  I.
  2. La distribución de  In converge a la distribución de 1 - I cuando n converges to .
  3. |In - (1 - I)| = 1 para cualquier n.
  4. P(In no converge a 1 - I cuando n converges to ) = 1.
  5. P(|In - (1 - I)| > 1 / 2) = 1 para cada  n, luego In no converge en probabilidad a 1 - I .
  6. E(|In - (1 - I)|) = 1, para cualquier  n, luego In no converge en media a 1 - I.

Mathematical Exercise 3. Suponga que fn, n = 1, 2, ... y f son funciones de densidad discretas definidas en un conjunto numerable S, y que fn(x) converges to f(x) cuando  n converges to para cada  x en S. Pruebe que la distribución correspondiente a  fn converge a la distribución correspondiente a f cuando n converges to .

Mathematical Exercise 4. Suponga que X es  una variable aleatoria real . Pruebe que la distribución condicional de X dado que X <= t converge a a distribución de X cuando t converges to .

Hay muchos casos donde una distribución especial converge a otra  distribución especial cuando un  parámetro aproxima a un valor límite. En realidad, tales resulatdos de convergencia son alguna de las razones de por qué tales distribuciones especiales son especiales en el primer lugar.

Mathematical Exercise 5. Suponga que P(Y = k) = p(1 - p)k - 1 para k = 1, 2, ..., donde p en (0, 1] es una parámetro.Esto es que, Y tiene una distribución geometrica con parámetro p.

  1. Encuentre la función de densidad condicional de Y dado que Y <= n.
  2. Pruebe que la distribución en  (a) converge a la distribución uniforme en {1, 2, ..., n} cuando p converges to 0+.

Recuerde que la  distribución binomial con parámetro n en {1, 2, ...} y p en (0, 1) es la  distribución del numero de exitos  en n Bernoulli trials, donde p es la probabilidad de exitos en a trial. Esta distribución tiene la función de densidad de discreta

f(k) = C(n, k) pk (1 - p)n - k para k = 0, 1, ..., n.

Recuerde tambien que la distribución de Poisson con parámetro t > 0 tiene la función de densidad discreta;

g(k) = exp(-t) tk / k! para k = 0, 1, 2, ... 

Mathematical Exercise 6. Pruebe que para un  t > 0 fijo, la distribución binomial con parámetro n y  pn = t / n converge a la distribución de Poisson  con  parámetro t cuando n converges to .

Para mas información sobre el importante resultado del ejercicio anterior vea la sección en la Analogía entre las pruebas de Bernoulli y el proceso de Poisson.

Recuerde que la distribución hypergeométrica con parámetros N, R, y n es el numero de objetos de un tipo particular de una muestra de tamano n,  tomada de una poblacion de tamano N donde R son del tipo dado (y n  es el numero de objetos de un tipo particular en una muestra de tamano n tomado sin reemplazar de una población de N objetos con R del tipo dado) ( n is the number of objects of a particular type in a sample of size n, drawn without replacement from a population of N objects with R of the given type). Esta tiene función de densidad discreta 

f(k) = C(n, k) (R)k (N - R)n - k / (N)n para k = 0, 1, ..., n.

 Mathematical Exercise 7. Suponga que R depende de  N  y que R / N converges to p cuando N converges to .Pruebe que para un n fijo, la distribución hipergeometricathe con  parámetros  N, R, n converge a la distribución binomial con parámetros n y  p cuando N converges to .

Relación con la  Convergencia en Probabilidad

Suponga que  Xn, n = 1, 2, ... y X son variables aleatorias (definidas en el mismo espacio de probabilidad) con funciones de distribución Fn, n = 1, 2, ... y F, respectivamente. El siguiente ejercicio probara que si Xn converges to X cuando n converges to en probabilidad entonces la distribución de Xn converge a la distribución de X cuando n converges to .

Mathematical Exercise 8. Pruebe que para r > 0,

  1. P(Xn <= x) = P(Xn <= x, X <= x + r) + P(Xn <= x, X > x + r).
  2. Fn(x) <= F(x + r) + P(|Xn - X| > r).

Mathematical Exercise 9. Pruebe que para r > 0,

  1. P(X <= x - r) = P(X <= x - r, Xn <= x) + P(X <= x - r, Xn > x).
  2. F(x - r) <= Fn(x) + P(|Xn - X| > r).

Mathematical Exercise 10. De 8 y 9 deduzca que para cualquier  r > 0,

F(x - r) + P(|Xn - X| > r) <= Fn(x) <= F(x + r) + P(|Xn - X| > r).

Mathematical Exercise 11. Suponga ahora que Xn converges to X cuando n converges to en probabilidad. Haga  n converges to en Ejercicio 10 para probar que para r > 0,

F(x - r) <= lim infn Fn(x) <= lim supn Fn(x) <= F(x + r)

Mathematical Exercise 12. Haga r converges to 0 para probar que si  F es continua en  x entonces

limn Fn(x) converges to F(x) cuando n converges to .

Resumiendo, las implicaciones van de izquierda a derecha en la siguiente tabla (donde j < k); en general las otras implcaciones no se cumplen.

convergencia con probabilidad 1 convergencia en probabilidad convergencia en distribución
convergencia en k-ésima media convergencia en j-ésima media

De todos modos, los siguientes ejercicios dan una reciproca cuando la variables límite es constante.:

Mathematical Exercise 13. Suponga que X1, X2, ... son variables aleatorias (definidas en el mismo espacio de probabilidad) y que la distribución de  Xn converge a la distribución de la constante  c cuando n converges to . Pruebe que  Xn converge en probabilidad a c.

  1. P(Xn <= x) converges to 0 cuando n converges to si x < c y P(Xn <= x) converges to 1 cuando n converges to si x > c.
  2. P(|Xn - c| <= r) converges to 1 cuando n converges to   para cualquier r > 0.

La Representacion de Skorohod 

Suponga que  Fn, n = 1, 2, ..., y F son funciones de distribución, y que Fn converges to F cuando n converges to en el sentido de convergencia en distribución. En esta subseccion probaremos que existen variables aleatorias Xn, n = 1, 2, ..., y X (definidas en el mismo espacio de probabilidad) tales que

  1. Xn tienen función de distribución  Fn para cada  n,
  2. X  tiene distribución F,
  3. Xn converges to X cuando n converges to con  probabilidad 1.

Este importante resultado es conocido como el teorema de representacion de Skorohod . Primero , sea  U  uniformemente  distribuida en el intervalo (0, 1). Definamos las siguientes variables aleatorias Xn, n = 1, 2, ...y X por

Xn = Fn-1(U), X = F-1(U),

donde Fn-1 y F-1 son las quantile functions de Fn y F respectivamente.

Mathematical Exercise 14. Recuerde de transformaciones con la distribución uniforme, que Xn tienen función de distribución  Fn y X tiene función de  distribución  F.

La  demostracion , desarrollada en la siguiente lista de ejercicios, es para probar que si  u esta en  (0, 1) y F-1 es continua en  u entonces

Fn-1(u) converges to F-1(u) cuando n converges to .

 Sea r > 0 y  u en (0, 1). Tome un punto  x de continuidad de  F tal que

F-1(u) - r < x < F-1(u).

Mathematical Exercise 15. Pruebe que

  1. F(x) < u.
  2. Fn(x) < u para  n suficientemente grande.

Mathematical Exercise 16. De Ejercicio 15, concluya que para n  suficientemente grande

F-1(u) - r < x < Fn-1(u).

Mathematical Exercise 17. Haga n converges to y r converges to 0+ en Ejercicio 16 para concluir que para cualquier  u en (0, 1).

F-1(u) <= lim infn Fn-1(u).

Ahora, sea  v que satisfaga  u < v < 1 y sea r > 0. Tome un  punto de continuidad de  F tal que

F-1(v) < x < F-1(v) + r.

Mathematical Exercise 18. Pruebe que

  1. u < v < F(x).
  2. u < Fn(x) para n suficientemente grande.

Mathematical Exercise 19. De Ejercicio 18, deduzca que para n suficientemente grande,

Fn-1(u) <= x < F-1(v) + r.

Mathematical Exercise 20. Haga  n converges to y r converges to 0+ en Ejercicio 19 para  concluir para cualquier u, v en (0, 1) con u < v,

lim supn Fn-1(u) <= F-1(v).

Mathematical Exercise 21. Haga  v converges to u- en Ejerccio 20 para probar que si u es un punto de continuidad de F,

lim supn Fn-1(u) <= F-1(u).

Mathematical Exercise 22. De Ejercicio 16 y 20, concluya que si  u es un punto de continuidad de F, entonces

Fn-1(u) converges to F-1(u) cuando n converges to .

Para finalizar la demostracion necesitamos un hecho de anilisis: dado que  F-1 es creciente, el conjunto D de discontinuidades de F-1 en (0, 1) es numerable.

Mathematical Exercise 23. Note que

  1. P(U in D) = 0.
  2. P(Xn converges to X cuando n converges to ) = 1.

El siguiente resultado ilustra la importacia del teorema de representacion de Skorohod.

Mathematical Exercise 24. Suponga que  Xn, n = 1, 2, ... y  X son variables aleatorias tales que la distribución de Xn converge a la distribución de X cuando n converges to . Si g: R converges to R es continua entonces la distribución de g(Xn) converge a la  distribución de g(X) cuando n converges to .

  1. Sean Yn, n = 1, 2, ... e Y  variables aleatorias, definidas en el mismo espacio de probabilidad, tal que Yn tiene la misma distribución que  Xn para cadad n, Y tiene la misma distribución que X, e Yn converges to Y cuando n converges to con probabilidad 1.
  2. Pruebe que g(Yn) converges to g(Y) cuando n converges to con  probabilidad 1.
  3. Pruebe que la distribución de g(Yn) converge a la distribución de g(Y) cuando n converges to .
  4. Pruebe que g(Yn) tiene la misma distribución que g(Xn) y que  g(Y) tiene la misma distribución que g(X).

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