1.
Pruebe que Laboratorio virtual > Distribuciones > 1 2 3 [4] 5 6 7 8 9
Como siempre, comencemos con un experimento
aleatorio un espacio muestral
y una medida de probabilidad P.
Suponga ahora que X e Y
son variables aleatorias para el
experimento, y que X toma valores en S
mientras que Y toma valores en T.
Podemos pensar a
El primer punto es que las distribuciones marginales pueden obtenerse a partir de la distribucion conjunta, pero no reciprocamente.
1.
Pruebe que
A)
= P[(X, Y)
A × T] para A 
S. B)
= P[(X, Y)
S × B] para B
T.Si X e Y son independientes, entonces por definicion,
P[(X, Y)
A × B] = P(X A)P(Y B)
para A
S, B
T,
y como ya hemos notado antes, esto determina completamente la distribucion de
(X,
Y) en
En el caso discreto, note que
2.
Suponga que
y
in T f(x, y)
para x
en S.x
in S f(x, y)
para y
en T.Para el caso continuo, suponga que S
Rj, T
Rk de forma que
Rj + k.
3.
Suponga que
T
f(x, y)dy
para x
en S.S
f(x, y)dx
para y
en T.En el contexto de los Ejercicios1 y 2, f se llama la funcion de densidad conjunta de (X, Y), mientras que g y h se llaman las funciones de densidad marginal de X e Y, respectivamente. En el caso independiente, la densidad conjunta es el producto de las densidades marginales.
4.
Suponga que X
e Y son independientes, ya sean las dos con
distribucion discreta o continua. Si g y h denotan las
funciones de densidad de X e Y
respectivamente. Pruebe que
f(x,
y) = g(x)h(y)
para x
S e y
T.
El siguiente ejercicio da un reciproco del ejercicio 4. Si la densidad conjunta es un producto de una funcion solo de x y una funcion solo de y, entonces X e Y son independienes.
5.
Suponga que
(X, Y) tiene ya sea una
distribucion discreta o continua, con funcion de densidad f. Suponga
que
f(x, y) = u(x)v(y) para x en S e y en T.
donde u es una funcion en S y v es una funcion en T. Pruebe que X e Y son independientes y que existe una constante no nula c tal que las funciones g y h dadas a continuacion son las densidades de X e Y respectivamente.
g(x) = cu(x) para x en S; h(y) = v(y) / c para y en T
6.
Suponga que dos dados son lanzados y que la sucesion de puntos es (X1, X2).Si Y = X1 + X2
y Z = X1
- X2 denotan la suma y la diferencia de los puntos,
respectivamente.
7.
Suponga que dos dados son lanzados y que la sucesion de puntos es (X1, X2).
Si U = min{X1, X2} y V
= max{X1, X2} denotan el minimo y el
maximo de los puntos, respectivamente.
8.
Suponga que (X, Y) tiene funcion de densidad f(x, y) =
x + y para 0 < x < 1, 0 < y < 1.
9.
Suponga que (X, Y) tiene funcion de densidad f(x, y) = 2(x + y)
para 0 < x < y < 1.
10.
Suponga que (X, Y) tiene funcion de densidad f(x, y) = 6x2y
para
0 < x < 1, 0 < y < 1.
11.
Suponga que (X, Y) tiene funcion de densidad f(x, y) = 15 x2y
para 0
< x < y < 1.
12.
Suponga que (X, Y, Z) tiene funcion de densidad
de probabilidad f
dada por
f(x, y, z) = 2z(x + y) para 0 < x < 1, 0 < y < 1, 0 < z < 1.
Distribuciones uniformes multivariadas dan una interpertacion geometrica de algunos de los conceptos de esta seccion. Recuerde que al medida standard en Rn es
mn(A) = A
1dx para A
Rn.
En particular, m1 es la longitud en R, m2 es la medide de area en R2, y m3 es la medidad de volumen en R3.
Suponga que
X toma valores en Rj
y que Y toma valores en Rk
y que (X, Y) es
uniformemente distribuida en R
f(x, y) = 1 / mj + k(R)
para (x, y)
R (y f(x, y) = 0
en cualquier otro caso).
13.
Pruebe que X
toma valores en S = {x: (x, y)
R para algun y} que la funcion de densidad
g de X es proporcional to the cross-sectional
measure:
g(x) = mk{y: (x, y)
R}/ mj + k(R)
para x S
14.
Pruebe que Y
toma valores en T = {y: (x, y)
R para algun x} que la funcion de densidad h
de Y es proporcional to cross-sectional
measure:
h(y) = mj{x: (x, y)
R}/ mj + k(R)
para y S
En particular, note de los ejercicio previos que X e Y son en general no uniformente distribuidas.
15.
Suponga que R = S × T. Pruebe que
16.
Suponga que (X,
Y) es uniformemente distribuida en el cuadrado (-6, 6) × (-6, 6).
17. En el bivariate uniform
experiment, elija cuadrado en la the list box. Realice la simulacion 5000
veces, updating cada 10 realizaciones. Observe los puntos en el scatter plot y
los graficos de las distribuciones marginales. Interprete lo que vea en el
contexto de la dsicusion previa.
18.
Suponga que (X,
Y) es uniformemente distribuida en el triangulo R = {(x, y): -6 < y < x < 6}.
19.
En el bivariate uniform
experimento, elija triangulo en the list box. Realice la
simulacion 5000 veces, updating cada 10 realizaciones. Observe los puntos en el scatter plot
y los graficos de las distribuciones marginales. Interprete lo que vea en el
contexto de la dsicusion previa.
20.
Suponga que (X,
Y) es uniformemente distribuida en el circulo R = {(x, y): x2 + y2
< 36}.
21. En el bivariate uniform
experiment, elija circulo in the list box. Realice la simulacion 5000
veces, updating cada 10 realizaciones. Observe los puntos en el scatter plot y
los graficos de las distribuciones marginales. Interprete lo que vea en el
contexto de la dsicusion previa.
22.
Suponga que (X,
Y, Z) es uniformemente distribuida en el cubo (0, 1)3.
23.
Suponga que (X, Y, Z) es uniformemente
distribuida en {(x, y,
z): 0 < x < y < z < 1}.
Halle
24.
Suponga que g es una funcion de probabilidad de densidad de una
distribuicion continua en un subconjunto S de Rn.
Si
R = {(x, y): x
S, 0 < y < g(x)}
Rn + 1.
Pruebe que si (X, Y) es uniformemente distribuida en R, entonces X tiene funcion de densidad g. Realice un grafico para el caso n = 1.
El resultado de esta seccion tiene naturalmente analogias con el caso de que (X, Y) tiene coordendas con distribuciones de distinto tipos, que fue tratado en la seccion distribuciones mixtas. Por ejemplo, suponga que X tiene distribucion discreta, Y tiene distribucion continua y (X, Y) tiene densidad conjunta f en S × T. Entonces los resultados en los ejercicios 2(a), 3(b), 4, y 5 se cumplen.
25.
Suponga que X
toma valores en {1, 2, 3}, Y toma valores en (0, 3), con funcion de
densidad conjunta f
dada por
f(1, y) = 1/3 para 0 < y < 1, f(2, y) = 1/6 para 0 < y < 2, f(3, y) = 1/9 para 0 < y < 3.
26.
Suponga que V toma valores en (0, 1), X toma valores en {0, 1, 2,
3}, con funcion de densidad conjunta f
f(p, k) = 6C(3,
k) pk + 1(1 - p)4 - k
para k
{0, 1, 2, 3} y p
(0, 1).
Como veremos en la seccion distribuciones condicionales, la distribucion en el ultimo ejercicio modela el experimento: una probabilidad aleatoria V es seleccionada, y entonces una moneda con esta probabilidad de caras es lanzada 3 veces; X es el numero de caras.
27. Para el cicada
data, G denota gender y S denota tipos de especies.
Halle la densidad empírica de (G, S).
Halle la densidad empírica de G.
Halle la densidad empírica de S.
Cree que S y G son independientes?
28. Para el cicada
data, BW denota peso del cuerpo y BL
denota longitud del cuerpo (en mm).
29. Para los datos
de la cigarra, G denota gender y BW denota peso del cuerpo
(en gramos).