D) < 1.Laboratorio Virtual > Distribuciones > 1 2 [3] 4 5 6 7 8 9
Como siempre, comencemos con un experimento aleatorio con un espacio muestral y con una medida de probabilidad P. En esta sección, discutiremos dos casos "mixtos" para la distribución de una variable aleatoria: el caso cuando la distribución es en parte discreta y en parte continua, y el caso en el que la variable tiene coordenas discretas y coordenadas continuas.
Suponga que X es una variable aleatoria, tomando valores en un subconjunto S de Rn. Entonces X tiene una distribución de tipo mixta si S puede ser particionado en dos subconjuntos D y C con las siguientes propiedades:
D) < 1.Esto es, parte de la distribución de X esta concentrada en puntos en un subconjunto discreto D; y el resto de la distribución esta distribuida continuamente sobre C.
Sea p = P(X
D), tal que 0 < p < 1. Podemos definir una función en D que es parcialmente una
función de densidad discreta.
1.
Sea g(x) = P(X = x)
para x
en D. Pruebe que
0
para x
en D.
x
en D g(x) = p. A)
= x
en A g(x) para A 
D.Usualmente, la parte continua de la distribución es también descripta por una función de densidad parcial. Esto es, suponga que existe una función no negativa h en C tal que
P(X A)
= 
A
h(x)dx
para A
C.
2.
Pruebe que C
h(x)dx = 1 - p.
La distribución de X esta completamente determinada por las funciones de densidad parciales g y h. Primero, extienda las funciones g y h a S en la forma usual g(x) = 0 para x en C; h(x) = 0 para x en D.
3.
Suponga que A
S. Pruebe que
P(X A)
= x
en A g(x) + A
h(x)dx.
Las distribuciones condicionadas en D y en C son puramente discretas y continuas respectivamente.
4.
Pruebe que la distribución condicional de X dado que X
D es discreta, con función de densidad
f(x | X
D) = g(x) / p para x
D.
5.
Pruebe que la distribución condicional de X dado que X
C es continua, con función de densidad
f(x | X
C) = h(x) / (1 - p)
para x
C.
Luego, la distribución de X es una mezcla de una distribución discreta y una distribución continua. Mezclas son estudiadas con mas generalidad en la sección distribuciones condicionadas.
6.
Suponga que X
tiene probabilidad 1/2 uniformemente distribuida en {1, 2, ..., 8} y tiene
probabilidad 1/2 uniformemente distribuida en el intervalo (0, 10). Halle P(X
> 6).
7.
Suponga quer (X, Y) tien probabilidad 1/3 uniformemente
distribuida en
{0, 1, 2}2 y que tiene probabilidad 2/3 uniformemente
distribuida en (0, 2)2. Halle P(Y > X).
Distribuciones de tipo mixta ocurren naturalmente cuando una variable aleatoria con distribución continua es truncada. Por ejemplo, suponga que T es el tiempo de vida de un cierto recurso, y que tiene función de densidad f(t) para t > 0. En un test del recurso, no podemos esperar por siempre, por lo que debemos elegir una constante positiva a y crear la siguiente variable aleatoria:
U = T si T < a; U = a
si T
a.
8.
Pruebe que U tiene una distribución mixta. En particular, pruebe que
{t:
t > a} f(t)dt. 9.
Suponga que el tiempo de vida de un recurso es T (en unidades
de 1000 horas) tiene una distribución exponencial f(t) = exp(-t), t > 0.
Un
test del recusrso es terminado despues de 2000 horas; el tiempo de vida truncado
U es guardado. Halle
Suponga que X tiene una distribución continua en R, con función de densidad f. La variable es truncada en a y en b (a < b) para crear una variable nueva Y de la siguiente manera:
Y = a si X 
a;
Y = X si a < X < b; Y = b
si X b.
10.
Pruebe que Y tiene una distribución mixta. En particular pruebe
que
{x:
x < a} f(x)dx, g(b) = {x:
x > b} f(x)dx.Suponga que X e Y son variables aleatorias para nuestro experimento, y que X tiene una distribución discreta, tomando valores en un subconjunto numerable S mientras que Y tiene una distribución continua en un subconjunto T de Rn. Entonces (X, Y) tiene una distribución continua en algun subconjunto de S × T.
11.
Pruebe que P[(X, Y) = (x, y)] = 0
para x
en S, y en T.
Usualmente, (X, Y) tiene una función de densidad f en S × T en el siguiente sentido:
P[(X, Y)
A × B] = x
en A B
f(x, y)dy
para A
S y B
T,
12.
En general, para C
S × T y x
S, sea C(x) = {y
T: (x, y)
C}. Pruebe que
P[(X, Y)
C] = x
en S C(x)
f(x, y)dy.
Técnicamente, f es una función de densidad de (X, Y) con respecto a una medida de conteo en S y una medida n-dimensional en T.
Vectores aleatorios con coordenads mixtas surgen naturalmente en problemas aplicados. Por ejemplo, el conjunto de datos de la cigarra tiene 4 variables continuas y 2 variables discretas. El conjunto de datos de M&M tiene 6 variables discretas y 1 variable continua. Vectores con coordenadas mixtas también ocurren cuando un parámetro discreto para una distribución continua es randomized, o cuando un parámetro continuo para una distribución discreta es randomized.
13.
Sea f(1, y) = 1/3 para 0 < y < 1, f(2, y)
= 1/6 para 0 < y < 2, f(3, y) = 1/9 para 0 < y
< 3.
14.
Sea f(p, k) = 6 C(3,
k) pk + 1(1 - p)4 - k
para k
{0, 1, 2, 3} y p
(0, 1).
Como veremos en la sección distribuciones condicionadas, la distribución en el último ejercicio modela el siguiente experimento: una probabilidad aleatoria V es seleccionada, y luego una moneda con esta probabilidad de cara es lanzada 3 veces; X es el número de caras.
15. Para los
datos M&M, si N denota el
número total de velas y W el
peso neto (en gramos). Construya la densidad empírica de (N, W).