1.
Demostrar que Laboratorio Virtual > Pruebas de Bernoulli > 1 2 [3] 4 5 6 7
Suponga nuevamente que nuestro experimento aleatorio consiste en realizar Pruebas de Bernoulli I1, I2, ... Recuerde que el número de éxitos en las primeras n pruebas, Xn, tiene la distribución binomial con parámetros n y p. En esta sección, estudiaremos la variable aleatoria que da la proporción de éxitos en las primeras n pruebas:
Mn = Xn / n = (I1 + I2 + ··· + In) / n.
Note que Mn toma los valores k / n dónde k = 0, 1, ..., n.
Es fácil expresar la función densidad de la proporción de éxitos Mn en términos de la función densidad del número de éxitos Xn:
1.
Demostrar que
P(Mn = k / n) = C(n, k) pk (1 - p)n-k para k = 0, 1, ..., n.
2.
En el Experimento
binomial de la moneda, seleccione la proporción de caras. Varíe n
y p con las barras de desplazamiento y tome nota de la forma de la
función densidad. Ahora fije n = 20 y p = 0.3 y haga
correr el experimento con una frecuencia de actualización de 10. Observe la
convergencia aparente de la función frecuencia relativa a la función densidad.
La proporción de éxitos también puede ser pensada como el valor promedio de las variables indicadoras. En términos estadísticos, las variables indicadoras forman una muestra aleatoria, desde el momento que son independientes e identicamente distribuidas, y en este contexto, Mn es un caso especial de la media de la muestra. La proporción de éxitos Mn se usa típicamente para estimar la probabilidad de éxito p cuando esta probabilidad es desconocida. Es básico para la mismisima noción de probabilidad, que si el número de pruebas es grande, luego Mn debería estar cerca de p. La formulación matemática de esta idea es un caso especial de la ley de los grandes números.
3.
Utilice las propiedades básicas del valor
esperado para demostrar que para todo n,
E(Mn) = p.
En términos estadísticos, esto significa que Mn es un estimador no polarizado de p.
4.
Utilice las propiedades básicas de la varianza
para demostrar que
var(Mn) = p(1 - p) / n.
Note que para p fijo, la var(Mn) decrece a 0 a medida que el número de pruebas tiende a infinito. Esto significa que la estimación mejora a medida que se incrementa n; en términos estadísticos, esto se conoce como consistencia.
5.
En el experimento
binomial de la moneda, seleccione la proporción de caras. Varíe n
y p con las barras de desplazamiento y note la forma de la función
densidad. Note que a medida que usted varía n y p, la
distribución Mn se centra en p, pero a medida
que se incrementa n, la distribución es más concentrada cerca de p.
Ahora fije n = 50 y p =
0.5 y haga correr el experimento con una frecuencia de actualización de10.
Observe la convergencia aparente de la función frecuencia relativa a la
función densidad.
6.
En el experimento
binomial de la moneda, seleccione la proporción de caras. Fije n = 10
y p = 0.4. Haga correr el experimento 100 veces, actualizando
después de cada simulación. Después de las 100 simulaciones, calcule la raíz
cuadrada del promedio de los errores al cuadrado, cuando utilizamos Mn
para estimar p. Este número es una medida de la calidad de la
estimación.
7.
En el experimento
binomial de la moneda, seleccione la proporción de caras. Fije n = 10
y p = 0.4. Haga correr el experimento 100 veces, actualizando
después de cada simulación. Después de las 100 simulaciones, calcule la raíz
cuadrada del promedio de los errores al cuadrado, cuando utilizamos Mn
para estimar p. Compare con el ejercicio anterior.
8.In the cicada
data, calcule la proporción de hembras en toda la muestra, y la proporción
de hembras de cada especie en la muestra. ¿Usted piensa que estas proporciones
de la muestra son buenas estimaciones de las proporciones de la población
correspondiente?
9. In the M&M
data, acumule las carteras de manera de crear una gran muestra de carteras M&M.
Ahora calcule la proporción de carteras M&M coloradas. ¿Usted piensa que esta proporción de la muestra es una buena estimación de la
proporción de la verdadera población?
Mire el capítulo de Estimación de Intervalos para una propuesta diferente al problema de estimar p.
El teorema del límete central se aplica a la proporción de éxitos de la misma manera que lo hace para el número de éxitos.
10.
Demuestre que la distribución de la variable estandarizada
(Mn - p) / [p(1 - p) / n]1/2.
converge a la distribución normal estándar a medidad que se incrementa el número de pruebas.
11. En el experimento
binomial de la moneda, seleccione la proporción de caras. Fije n = 30, p = 0.6.
Haga correr el experimento 1000 veces con una frecuencia de actualización de
100. Calcule y compare cada uno de los siguientes incisos:
M30 0.7) M30
0.7} M30
0.7)A veces no estamos realmente interesados en estimar p, pero sí en determinar si p es un cierto valor ó está en una cierta región. A grandes rasgos, tomamos la decisión realizando n pruebas de Bernoulli, observando el número de éxitos, y comparando esta observación con lo que la distribución binomial prediciría, dados nuestros supuestos sobre p. En términos estadísticos, estamos realizando un test de hipótesis.
Por ejemplo, suponga que estamos interesados en determinar si una moneda está trucada ó no. Tomaremos nuestra decisión basados en el resultado de 10 lanzamientos de la moneda.
12.
Demostrar que 10 lanzamientos de una moneda no trucada producirán entre 3 y 7
caras aproximadamente el 89% de las veces.
Por lo tanto, podriamos decidir declarar la moneda como no trucada si el número de caras se encuentra entre 3 y 7 y declarar la moneda como trucada en otro caso. De esta manera, si la moneda no está trucada realmente, nuestro test nos llevará a la decisión coorrecta el 89% de las veces. Aproximadamente el 11% de las veces, concluiremos erroneamente que una moneda no trucada está polarizada; en términos estadísticos, este es un error de tipo 1.
13. Suponga que la moneda tiene una probabilidad de caras p dada abajo.
Con el test dado anteriormente, encuentre la probabilidad de que concluiremos
correctamente que la moneda está trucada. Encuentre la probabilidad de que
concluiremos incorrectamente que la moneda no está trucada; en términos
estadísticos, este es un error
de tipo 2.
14.
En el experimento
binomial de la moneda, fije n = 10. Para cada uno de los
siguientes valores de p, haga correr la simulación 100 veces,
actualizando luego de cada simulación. En cada simulación realice un test de
hipótesis. Calcule la frecuencia relativa de las decisiones correctas y la
frecuencia relativa de los errores.
15. Una candidata para un puesto político afirma que se ve favorezida por el
40% de los votantes. Sin embargo, en una encuesta a 100 votantes, sólo 30
favorecían a la candidata. ¿Usted cree en la afirmación de la candiata?
Calcule la aproximación normal de la probabilidad de que una variable binomial
con n =
100 y p = 0.4 producirá 30 ó menos éxitos.