1.
Demostrar que Xn
= I1 + I2 + ··· + In.Laboratorio Virtual > Pruebas de Bernoulli > 1 [2] 3 4 5 6 7
Suponga que nuestro experimento aleatorio es hacer Pruebas de Bernoulli I1, I2, .... En esta sección estudiaremos la variable aleatoria Xn que nos da el número de éxitos en los primeros n intentos. Esta variable tiene una expresión simple en términos de las variables indicadoras:
1.
Demostrar que Xn
= I1 + I2 + ··· + In.
2.
Suponga que K 
N = {1, 2, ..., n}
y #(K) = k. Use las suposiciones de las pruebas de
Bernoulli para demostrar que
P(Ij = 1 para j 
K
y Ij = 0 para j N - K) = pk(1 - p)n
-k.
Tenga en cuenta que el número posible de subconjuntos de tamaño k de un conjunto de tamaño n es el coeficiente binomial
C(n, k). = n!/[k!(n - k)!}
3.
Use el Ejercicio 2 y las propiedades básicas de probabilidad para
demostrar que
P(Xn = k) = C(n, k)pk(1 - p)n-k para k = 0, 1, ..., n.
La distribución con esta función densidad se conoce como la distribución binomial con parámetros n y p. La familia binomial de distribuciones es una de las más importantes en probabilidad.
4.
En el experimento binomial
de la moneda, varíe n y p con las scrollbars, y tome
nota de la forma y posición de la función densidad. Ahora con n = 10
y p
= 0.7, haga correr la simulación 1000 veces, actualizando cada 10 simulaciones.
Tome nota de la aparente convergencia de la función frecuencia relativa a la
función densidad.
5. Un dado justo es arrojado 5 veces. De explícitamente la función densidad
del número de unos.
6. Un estudiante da un exámen de tipo multiple choice de 10 preguntas con 4
opciones cada una. Si el estudiante adivina ciegamente, encuentre la
probabilidad de que al menos conteste 5 preguntas en forma correcta.
7.
Use el teorema binomial para demostrar que la función densidad binomial es
realmente una función densidad (discreta).
8.
Demostrar que
Por lo tanto, la función densidad al principio crece y después decrece,
alcanzando su valor más grande en floor
9.
Suponga que U es una variable aleatoria que tiene distribución
binomial con parámetros n y p. Demostrar que n - U
tiene distribución binomial con parámetros n
and 1 - p.
En 1693, Samuel Pepys le pregunto a Isaac Newton si era más probable obtener al menos un uno en 6 lanzamientos de un dado ó al menos dos unos en 12 lanzamientos de un dado. Este problema se conoce como un problema de Pepys; naturalmente, Pepys pensaba en un dado no trucado.
10.
Adivine la respuesta al problema de Pepys basándose en datos empíricos. Con un
dado no trucado y n = 6, haga correr la simulación
del experimento con el dado 500 veces y calcule la frecuencia relativa de al
menos un uno. Ahora con
n = 12, haga correr la simulación 500 veces y calcule la frecuencia
relativa de al menos dos unos. Compare los resultados.
11. Resuelva el problema de Pepys utilizando la distribución binomial.
12. ¿Qué es más probable: al menos un uno en 4 lanzamientos de un dado no
trucado ó al menos un doble uno en 24 lanzamientos de dos dados no trucados?
Este se conoce como el problema de DeMere's, llamado después
de Chevalier De Mere
Calcularemos la media y la varianza de la distribución binomial en varias formas diferentes. El método que utiliza las variables indicadoras es el mejor.
13. Use
el Ejercicio 1 y propiedades básicas del valor esperado para demostrar
que
E(Xn) = np.
Esto tiene sentido intuitivo, ya que p debería ser aproximadamente la proporción de éxitos en un número grande de pruebas.
14.
Calcule la media utilizando la función densidad.
15.
Use el Ejercicio 1 y propiedades de la varianza para demostrar que
var(Xn) = np(1 - p)
16.
Realice el gráfico de la varianza como una función de p. Note en
particular que la varianza es máxima cuando p = 1/2 y mínima
cuando p = 0 ó p = 1.
17.
Calcule la varianza utilizando la función densidad.
18.
Demostrar que la función
generadora de probabilidad está dada por
E(tXn) = (1 - p + pt)n para t en R
19. Use
la función generadora de probabilidad del Ejercicio 18 para calcular la media y
la varianza.
20. Use la identidad jC(n, j) = nC(n - 1, j - 1)
para n, j = 1, 2, ... para demostrar que
E(Xnk) = npE[(Xn - 1 + 1)k - 1] para n, k = 1, 2, ...
21. Use
el resultado recursivo del Ejercicio 20 para dar aún una derivación más de la
media y la varianza.
22.
En el experimento binomial
de la moneda, varíe n y p con las scrollbars
y note la posición y el tamaño de la barra media/desviación estándar. Ahora
con p = 0.7, haga correr la simulación 1000 veces, actualizando cada
10 simulaciones. Note la aparente convergencia entre la media y desviación
estándar de la muestra y la media y la desviación estándar de la
distribucion.
23. Un cierto tipo de misil tiene una probabilidad de fallar de 0.02. Calcule
la media y la desviación estándar del número de fallas en 50 lanzamientos.
24. Un dado no trucado es arrojado 1000 veces. De la media y la desviación
estándar del número de unos.
La Tabla de Galton es un arreglo triangular de clavijas. Las filas están numeradas 0, 1, ... desde la punta hacia abajo. La fila n tiene n + 1 clavijas numeradas desde 0 a la izquierda hasta n a la derecha. Por lo tanto una clavija puede ser identificada unicamente por el par ordenado (n, k) dónde n es el número de la fila y k es el número de clavija en esa fila. La Tabla de Galton se llama así debido a Francis Galton.
Ahora suponga que una pelota es arrojada detrás de la la clavija de la punta (0, 0). Cada vez que la pelota choca con una clavija, esta rebota hacia la derecha con probabilidad p y hacia la izquierda con probabilidad 1 - p, independientemente de rebote a rebote.
25.
Demostrar que el número de clavija que la pelota choca en la fila n
tiene distribución binomial con parámetros n y p.
26.
En el Experimento
de la tabla de Galton, fije n = 10 y p = 0.1. Cliquee
step varias veces y observe las pelotas callendo a través de las clavijas.
Repita para p = 0.3,
0.5, 0.7, y 0.9.
27.
En el Experimento
de la tabla de Galton, fije n = 15 y p = 0.1. Haga
correr la simulación 100 veces, actualizando después de cada simulación. Note
la forma general de los caminos a través de la tabla. Repita para p = 0.3, 0.5, 0.7,
y 0.9.
A continuación estableceremos una propiedad de invarianza importante de la distribución binomial.
28. Use
la representación en términos de las variables indicadoras para demostrar que
si m y n son enteros positivos luego
Por lo tanto, el proceso aleatorio Xn, n = 1, 2, ... tiene incrementos estacionarios, independientes.
29.
Demostrar que si U y V son variables aleatorias
independientes para un experimento, y que U tiene distribución
binomial con parámetros m y p, y V tiene
distribución binomial con parámetros n y p, entonces U +
V tiene distribución binomial con parámetros m + n and p.
30.
Suponga m
< n. Demostrar que
P(Xm = j | Xn = k) = C(m, j) C(n - m, k - j) / C(n, k) para j = 0, 1, ..., m.
Interesantemente, la distribución del Ejercicio 30 es independiente de p. Esta es conocida como la Distribución Hipergeométrica con parámetros n, m y k. Intente interpretar este resultado probabilisticamente.
31. Una moneda es arrojada 100 veces y resultan 30 caras. Encuentre la función
densidad del número de caras en los primeros 20 lanzamientos.
32.
En el experimento binomial
de la línea de tiempo , fije p = 0.1. Comience con n = 1
y sucesivamente incremente n de a 1. Note la forma de la función
densidad cada vez. Con n = 100, haga correr el experimento 1000 veces,
actualizando cada 10. Repita para p
= 0.3, 0.5, 0.7, y 0.9.
La forma de campana característica que usted debería observar en el Ejercicio 32 es un ejemplo del teorema del límite central, debido a que la variable binomial puede ser escrita como una suma de n variables aleatorias independientes, identicamente distribuidas (las variables indicadoras).
33.
Demuestre que la distribución de la variable estandarizada dada abajo converge
a la distribución normal
estándar a medida que crece n
(Xn - np) / [np(1 - p)]1/2.
Esta versión del teorema del límite central es conocida como el teorema de DeMoivre-Laplace, y es llamado así debido a Abraham DeMoivre y Simeon Laplace. Desde un punto de vista práctico, el Ejercicio 33 significa que, para n grande, la distribución de Xn es aproximadamente normal, con media np y varianza np(1 - p). Qué tan grande tiene que ser n para que la aproximación normal funcione bien depende del valor de p. La experiencia nos dice que necesitamos que np y n(1 - p) sean al menos 5.
34.
En el experimento binomial
de la línea de tiempo , fije p = 0.5 y n = 15.
Haga correr el experimento 1000 veces con una frecuencia de actualización de
100. Calcule y compare lo siguiente:
X15 10) X15
10} X15
10) 35.
En el experimento binomial
de la linea de tiempo , fije p = 0.3 y n = 20.
Haga correr el experimento 1000 veces con una frecuencia de actualización de
100. Calcule y compare lo siguiente:
X20 10) X20
10} X20
10) 36.
En el experimento
binomial de la linea de tiempo , fije p = 0.8 y n = 30.
Haga correr el experimento 1000 veces con una frecuencia de actualización de
100. Calcule y compare lo siguiente:
X30 27) X30
27} X30
27)
37. Suponga que en una cierta ciudad, el 40% de los votantes empadronados
prefieren al candidato A. Se selecciona una muestra de 50 votantes
empadronados.
La distribución binomial aparece frecuentemente en el contexto de la confiabilidad. Suponga que un sistema consiste de n componentes los cuales operar en forma independiente. Cada componente o es bueno, con probabilidad p, ó es defectuoso, con probabilidad1 - p. Por lo tanto, los componentes son pruebas de Bernoulli. Ahora suponga que un sistema visto como un todo funciona correctamente si y sólo si al menos k de los n componentes son buenos. En términos de confiabilidad, un sistema tal es llamado, en forma suficientemente apropiada, sistema de k entre n. La probabilidad del que el sistema funcione correctamente se llama la confiabilidad de sistema.
38.
Comente acerca de la razonabilidad de las suposiciones de que los componentes se
comportan como pruebas de Bernoulli.
39.
Demuestre que la confiabilidad de un sistema k entre n es Rn,k(p)
= P(X 
k)
donde X
tiene distribución binomial con parámetros n y p.
40.
Demuestre que Rn,n(p) = pn.
Un sistema de n entre n es llamado un sistema serie.
41.
Demuestre que Rn,1(p) = 1 - (1 - p)n.
Un sistema de 1 entre n es llamado un sistema paralelo.
42.
En el experimento binomial de la moneda
fije n = 10 y p = 0.9 y haga
correr la simulación 1000 veces, actualizando cada 100 simulaciones. Calcule la
confiabilidad empírica y compárela con la confiabilidad real en cada uno de
los siguientes casos:
43. Considere
un sistema con n = 4 componentes. Dibuje los gráficos de
R4,1, R4,2,
R4,3, y R4,4 en el mismo conjunto
de ejes.
44. Un sistema de n entre 2n - 1 es un sistema de
las reglas mayoritarias.
45.
En el experimento
de la moneda binomial, calcule la confiabilidad empírica, basada en 100
simulaciones, en cada uno de los siguientes casos. Compare sus resultados con
las probabilidades reales.
46.
Demostrar que R2n
- 1, n(1/2) = 1/2.