Random Experiments

1. Experimentos Aleatorios

Experimentos

La Teoría de Probabilidad está basada en el paradigma de un experimento aleatorio; es decir, un experimento cuyo resultado no puede predecirse con certeza, antes de realizar el experimento. Se supone generalmente que el experimento puede repetirse indefinidamente bajo esencialmente las mismas condiciones. Esta suposición es importante porque la teoría de probabilidad considera el comportamiento para tiempos largos a medida que el experimento se repite. Naturalmente, una definición completa de un experimento aleatorio requiere una definición cuidadosa de cual es la información del experimento que quiere guardarse, es decir, una definición cuidadosa de lo que constituye un resultado.

El término parámetro se refiere a una cantidad no aleatoria en un modelo que, una vez elegida, permanece constante. Muchos modelos probabilísticos de experimentos aleatorios tienen uno o más parámetros que pueden determinarse para ajustar el experimento físico que se esté modelando.

Experimentos compuestos ( o combinados)

Supongamos que tenemos n experimentos E₁, E₂, ..., E_n. Podemos formar un experimento nuevo, compuesto, realizando los experimentos en una secuencia de n experimentos (E₁ primero, después E₂, y así sucesivamente), independientes entre sí. El término independiente significa, intuitivamente, que el resultado de un experimento no influye sobre ninguno de los otros experimentos. Más adelante precisaremos este término desde el punto de vista matermático.

En particular, supongamos que tenemos un experimento básico. Un número fijo (podría ser incluso un número infinito) de réplicas independientes de un experimento básico es un nuevo experimento. Muchos experimentos pueden transformarse en experimentos compuestos, y en sí la teoría de probabilidad se basa en la idea de repetir un experimento.

Supongamos por ejemplo que tenemos un experimento simple con dos posibles resultados. Las repeticiones (o réplicas) independientes de este experimento son conocidas como Pruebas de Bernoulli. Este es uno de los más simples, pero más importantes modelos de probabilidad. Para darle mayor generalidad, supongamos que tenemos un experimento simple con k resultados posibles. Las réplicas independientes de este experimento son conocidas como pruebas multinomiales.

Algunas veces un experimento ocurre en etapas bien definidas, pero de un modo dependiente, en el sentido de que el resultado de una dada etapa es influenciado por el resultado de la etapa previa.

Experimentos de Muestreo

En la mayoría de los estudios estadísticos, se comienza con una población de objetos de interés. Los objetos pueden ser gente, chips de memoria, hectáreas de plantaciones de maíz, o cualquier otra cosa. Generalmente hay una o más mediciones que sean de interés, el peso y la altura de una persona, el tiempo de vida de un chip de memoria, la cantidad de lluvia, la cantidad de feritilizador y la cosecha de una hectárea de maíz.

Aunque nuestro interés es la población entera de objetos, este conjunto es normalmente demasiado grande para estudiarse. Entonces, se toma una muestra aleatoria de objetos de una población y se registran las mediciones de interés para cada objeto de la muestra.

Hay dos tipos básicos de muestreo. Si muestreamos con reposición, cada ítem es reemplazado en la población antes de tomar el ítem siguiente; así, un objeto puede ocurrir varias veces en la misma muestra. Si muestreamos sin reposición, los objetos no se reemplazan en la población. El capítulo de Modelos de Muestreo Finito explora un número de modelos basado en muestreo para una población finita.

El muestreo con reposición puede pensarse como un experimento combinado, basado en réplicas independientes de un experimento simple que consiste en extraer un objeto de una población y registrar las mediciones de interés. A la inversa, un experimento compuesto que consiste en n réplicas independientes de un experimento simple puede normalmente pensarse como un experimento de muestreo. Por otro lado, muestreo sin reposición es un experimento que consiste en etapas dependientes.

Ejercicios

$Mathematical Exercise$ 1. Considere el experimento de lanzar n monedas diferentes y registrar el resultado (cara o ceca) para cada moneda.

Identifique un parámetro del experimento.
Identifique el experimento como un experimento compuesto que consiste en repeticiones independientes de un experimento simple.
Identifique el experimento como muestreo con reposición de una población.
Identifique el experimento como n pruebas de Bernoulli.

2. En la simulación del experimento con monedas del Ejercicio 1, tome n = 5. Corra la simulación 100 veces y observe los resultados.

$Mathematical Exercise$ 3. Considere el experimento de tirar n (diferentes) dados y registre el número de puntos que muestra la cara superior de cada dado.

Identifique un parámetro del experimento.
Identifique el experimento como un experimento compuesto que consiste en repeticiones independientes de un experimento simple.
Identifique el experimento como muestreo con reposición de una población.
Identifique el experimento como n pruebas multinomiales.

4. En la simulación del experimento con dados del Ejercicio 3, tome n = 5. Corra la simulación 100 veces y observe los resultados.

$Mathematical Exercise$ 5. Considere el experimento de las cartas que consiste en tomar n cartas de un mazo de 52.

Identifique el experimento como un experimento compuesto que está formado por etapas dependientes.
Identifique el experimento como muestreo sin reposición de una población.

6. En la simulación del experimento con cartas del Ejercicio 5, tome n = 5. Corra la simulación 100 veces y observe los resultados.

$Mathematical Exercise$ 7. El experimento de la moneda de Buffon consiste en lanzar una moneda con radio r 1/2 sobre un piso recubierto con baldozas cuadradas de lado igual a 1. Se miden las cordenadas del centro de la moneda, relativas a ejes trazados en el centro del cuadrado, paralelos a los ejes.

Identifique un parámetro del experimento.
Identifique el experimento como un experimento compuesto formado por repeticiones independientes de un experimento simple.
Identifique el experimento como muestreo con reposición de una población.

8. En las simulación del experimento de la moneda de Buffon, fije r = 0.1. Corra el experimento 100 veces y observe los resultados.

9. En 1879, Albert Michelson construyó un experimento para medir la velocidad de la luz con un interferómetro. El conjunto de datos de velocidad de la luz contiene el resultado de 100 repeticiones del experimento de Michelson. Explore los datos y explique, de un modo general, la variabilidad de los datos.

10. En 1998, dos estudiantes en la Universidad de Alabama en Huntsville diseñaron el siguiente experimento: comprar un paquete de confites M&Ms (de un tamaño especificado) y registrar la cantidad de confites rojos, verdes, azules anaranjados y amarillos, y medir el peso neto (en gramos). Explore el conjunto de datos M&M y explique, de un modo general, la variabilidad de los datos.

11. En 1999, dos investigadores de la Universidad de Belmont diseñaron el siguiente experimento: capture una cigarra en la zona de Middle Tennessee, y registre el peso del cuerpo (en gramos), el largo y el ancho de las alas y el largo del cuerpo (en milímetros), el género, y el tipo de especie. El conjunto de datos de la cigarra contiene los resultados de 104 repeticiones de este experimento. Explore los datos de la cigarra y explique, de un modo general, la variabilidad de los datos.