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2. La Distribución Normal

La distribución normal cumple un honroso rol en probabilidad y estadística, mayormente debido al teorema del límite central, uno de los teoremas fundamentales que forman un puente entre los dos temas. Además, como podremos ver, la distribución normal posee muchas propiedades matemáticas deseables. La distribución normal es también llamada Distribución Gaussiana, en honor a Carl Friedrich Gauss, quien además fue el primero que usó esta distribución.

La Distribución Normal Standard

Una variable aleatoria Z posee una distribución normal standard si su función densidad de probabilidad g está dada por

g(z) = exp(-z² / 2) / [(2)^1/2] para z en R.

1. Demuestre que la función de densidad normal standard realmente es una función densidad de probabilidad probando que

C = _R exp(-z² / 2)dz = (2)^1/2.

Ayuda: Exprese a C² como una integral doble en R² y entonces convierta a coordenadas polares:

2. Use técnicas de cálculo básicas para dibujar la función standard normal. En particular, muestre que

1. g es simétrica alrededor de  z = 0.
2. g es creciente para z < 0 y decreciente para z > 0.
3. La moda ocurre en  z = 0.
4. g es cóncava hacia arriba para z < -1 y para z > 1 y es cóncava hacia abajo para -1 < z < 1.
5. Los puntos de inflección de g ocurren en z = ±1.
6. g(z) 0 como z y como z -

3. En el experimento de variables aleatorias, seleccione la distribución normal y mantenga los seteos iniciales. Observe la forma y la ubicación de la función densidad normal standard. Corra la simulación 1000 veces, actualizando cada 10 corridas, y note la convergencia de la función densidad empírica con la función densidad real.

La función distribución normal standard G y la función cuantil G^-1 no pueden ser expresadas en términos cerrados de funciones  elementales. Valores aproximados de estas funciones pueden obtenerse de la tabla de la distribución normal standard y en el applet cuantil.

4. Use la propiedad de simetría para mostrar que

1. G(-z) = 1 - G(z) para cualquier z en R.
2. G^-1(p) = -G^-1(1 - p) para cualquier p en (0, 1).
3. La mediana es 0.

5. En el applet cuantil, seleccione la distribución normal standard.

1. Observe la forma de la función densidad y la función distribución.
2. Encuentre el primer y tercer cuartil.
3. Calcule el rango intercuartil.

6. Use el applet cuantil para encontrar los cuantiles de los siguientes órdenes para la distribución normal standard:

1. p = 0.001, p = 0.999
2. p = 0.05, p = 0.95
3. p = 0.10, p = 0.90

La Distribución Normal General

La distribución normal general es la familia ubicación-escala asociada con la distribución normal standard. Así, las propiedades básicas de la función densidad y la función distribución se derivan simplemente de los resultados generales para las familias de escala de ubicación( location scale families).

7. Muestre que la distribución normal con el parámetro de ubicación µ en R y el parámetro de escala d > 0 tienen una función densidad de probabilidad  f dada por

f(x) = exp[-(x - µ)² / (2d²)] / [(2)^1/2d], para x en R.

8. Dibuje cuidadosamente la función densidad de la normal con parámetro de ubicación µ y parámetro de escala d. En particular, muestre que

1. f es simétrico alrededor de x = µ.
2. f es creciente para x < µ y decreciente para x > µ.
3. La moda ocurre en x = µ.
4. f es cóncava hacia arriba para x < µ - d y para x > µ + d y es cóncava hacia abajo para µ - d < x < µ + d.
5. Los puntos de inflección de  f ocurren en x = µ ± d.
6. f(x) 0 como x y como x -

9. En el experimento de la variable aleatoria, seleccione la distribución normal. Varíe los parámetros y observe la forma y ubicación de la función densidad. Con su elección de parámetros, corra la simulación 1000 veces, actualizando los parámetros cada 10 corridas y note la convergencia de la función densidad empírica con la función densidad verdadera.

Siendo F la función distribución para la distribución normal con parámetro de ubicación µ y parámetro de escala d, y como arriba,  G siendo la función distribución normal standard.

10. Demuestre que

1. F(x) = G[(x - µ) / d] para x en R.
2. F^-1(p) = µ + d G^-1(p) para p en (0, 1).
3. La mediana es µ.

11. En el applet cuantil, seleccione la distribución normal. Varíe los parámetros y note la forma de la función densidad y la función distribución.

Momentos

Las propiedades mas importantes de la distribución normal se obtienen usando la función generadora de momentos.

12. Suponga que Z tiene una distribución normal standard. Demuestre que la función generadora de momentos de Z está dada por

E[exp(tZ)] = exp(t² / 2) para t en R.

Ayuda: En la integral para E[exp(tZ)], complete el cuadrado en  z. Reconozca la función densidad normal.

13. Suponga que X tiene una distribución normal con parámetro de ubicación µ y parámetro de escala d. Use el resultado del ejercicio previo para demostrar que la función generadora de momentos de X está dada por

E[exp(tX)] = exp(µt + d²t² / 2) para t en R.

Como la notación sugiere, los parámetros de escala y ubicación son también la media y la desviación standard, respectivamente.

14. Suponga que X tiene una distribución normal con parámetro de ubicación µ y parámetro de escala d. Muestre que

1. E(X) = µ
2. var(X) = d².

Mas generalmente, nosotros podemos calcular todos los momentos centrales de X:

15. Suponga que X tiene una distribución normal con media µ y desviación standard d. Demuestre que para k = 1, 2, ...

1. E[(X - µ)^2k] = (2k)!d^2k / (k!2^k).
2. E[(X - µ)^{2k - 1}] = 0

16. En las simulaciones del experimento de la variable aleatoria, seleccione distribución normal. Varíe la media y la desviación standard y observe la medida y ubicación de la barra de la media/desviación standard. Con su elección de parámetros, corra la simulación 1000 veces, actualizándolos cada 10 corridas y note la convergencia de los momentos empíricos con los momentos reales.

El siguiente ejercicio da la asimetría y curtosis de la distribución normal.

17. Suponga que X tiene una distribución normal con media µ y desviación standard d. Demuestre que

1. skew(X) = 0.
2. kurt(X) = 3.

Transformaciones

La familia normal de distribuciones satisface dos propiedades muy importantes: invarianza bajo transformaciones lineales e invarianza con respecto a la suma de variables independentes. La primera propiedad es esencialmente una redefinición del hecho de que la distribución normal es de la familia ubicación-escala. Las pruebas son sencillas usando la función generadora de momentos.

18. Suponga que X está normalmente distribuida con media µ y varianza d². Si a y b son constantes y a es distinta de cero, demuestre que aX + b está normalmente distribuida con media aµ + b y varianza a²d².

19. Pruebe los siguientes resultados:

1. Si X tiene distribución normal con media µ y desviación standard d entonces Z = (X - µ) / d también tiene distribución normal standard.
2. Si Z tiene distribución normal standard y si µ y d > 0 son constantes, entonces X = µ + dZ también tiene distribución normal con media µ y desviación standard d.

20. Suponga que X está normalmente distribuida con media µ₁ y varianza d₁², Y está normalmente distribuida con media µ₂ y varianza d₂², y que X, Y son independientes. Muestre que X + Y está normalmente distribuida con

1. E(X + Y) = µ₁ + µ₂.
2. var(X + Y) = d₁² + d₂².

El resultado de los ejercicios previos generaliza una suma de n variables normales independientes. La clave de este resultado es que la suma es aún normal; las expresiones para la media y la varianza son resultados standard que generalmente se mantienen para la suma de variables independentes.

21. Suponga que X tiene distribución normal con media µ y varianza d². Muestre que la distribución es una familia exponencial de dos parámetros con parámetros naturales µ / d² y -1 / 2d², y estadística natural X y X².

Ejercicios computacionales

22. Suponga que el volumen de cerveza en una botella de una cierta marca está normalmente distribuido con media 0.5 litros y desviación standard 0.01 litros.

1. Encuentre la probabilidad de que una botella contenga por lo menos 0.48 litros.
2. Encuentre el volumen que corresponde al 95%.

23. Cierta barra metálica está diseńada para encajar en un agujero circular. El radio de la barra está normalmente distribuido con media 1 cm y desviación standard 0.002 cm. El radio del agujero está normalmente distribuido con media 1.01 cm y desviación standard 0.003 cm. Los procesos de maquinamiento que producen la barra y el agujero son independientes. Encuentre la probabilidad de que la barra sea demasiado grande para ingresar en el agujero.

24. El peso de un durazno de una cierta quinta está normalmente distribuido con media 8 onzas y desviación standard 1 onza. Encuentre la probabilidad de que el peso combinado de 5 duraznos exceda las 45 onzas.

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