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2. El Método de los Momentos

El Método

Suponga que tenemos un experimento aleatorio básico con una variable aleatoria  X observable y real.La distribución de X tiene k parámetros desconocidos, o equivalentemente, un vector de parámetros

a = (a1, a2, ..., ak)

tomando valores en un espacio del parámetro A subset Rk. Como de costumbre,repetimos el experimento n veces para generar una muestra aleatoria de longitud n proveniente de la distribución de X.

(X1, X2, ..., Xn).

De este modo, X1, X2, ..., Xn son variables aleatorias independientes, cada una de ellas con la distribución de X.

El método de los momentos es una técnica para construir estimadores de los parámetros que está basada en hacer coincidir los  momentos muestrales con los correspondientes momentos de la distribución. Primero, sea

µi(a) = E(X i | a)

que denota el  i-ésimo momento de X alrededor de 0. Note que estamos enfatizando la dependencia de estos momentos con el vector de parámetros a. Note también que µ1(a) es justamente la media de X, la cual usualmente designamos por µ. Seguidamente, sea

Mi(X) = (X1i + X2i + ··· + Xni) / n

que denota el momento muestral  i-ésimo. Note que estamos enfatizando la dependencia de los momentos muestrales con la muestra X. Note además que M1(X) es justamente la media muestral común, la cual designamos usualmente por Mn.

Para construir estimadores W1, W2, ..., Wk para nuestros parámetros desconocidos  a1, a2, ..., ak, respectivamente, intentamos resolver el conjunto de ecuaciones simultáneas

para W1, W2, ..., Wk en términos de X1, X2, ..., Xn. Note que tenemos k ecuaciones con k incógnitas, por lo tanto hay esperanza de que las ecuaciones puedan ser resueltas.

Estimas para la Media y la Varianza

Mathematical Exercise 1. Suponga que (X1, X2, ..., Xn) es una muestra aleatoria de longitud n proveniente de una distribución con media µ and varianza d2  desconocidas. Demuestre que los estimadores según el método de los momentos para µ y d2 son, respectivamente

  1. Mn = (1 / n)sumj = 1, ..., n Xj.
  2. Tn2 = (1 / n)sumj = 1, ..., n (Xj - Mn)2

Note que Mn es justamente la media muestral común, pero Tn2= [(n - 1) / n] Sn2 donde Sn2  es la varianza muestral usual. En el resto de esta subsección, compararemos los estimadores Sn2 y Tn2.

Mathematical Exercise 2. Demuestre que sesgo(Tn2) = -d2 / n.

Así, Tn2  es negativamente sesgado, y en promedio subestima a d2.

Mathematical Exercise 3. Demuestre que Tn2  es asintóticamente no sesgado.

Mathematical Exercise 4. Demuestre que

ECM(Tn2) = [(n - 1)2 / n3][d4 - (n - 3)d4 / (n - 1)] + d4 / n2.

Mathematical Exercise 5. Demuestre que la eficiencia relativa asintótica de Tn2 a Sn2 es 1.

Mathematical Exercise 6. Suponga que la distribución de muestreo es normal. Demuestre en este caso 

  1. ECM(Tn2) = (2n - 1)d4 / n2.
  2. ECM(Sn2) = 2d4 / (n - 1).
  3. ECM(Tn2) < ECM(Sn2) for n = 2, 3, ...

Por consiguiente, Sn2 y Tn2  son multiplos el uno del otro; Sn2 es no sesgado pero Tn2  tiene el menor error cuadrático medio.

Simulation Exercise 7. Corra el experimento de la estimación normal 1000 veces, actualizando cada 10 corridas, para varios valores de los parámetros. Compare el sesgo empírico y el error cuadrático medio de Sn2 y de Tn2  a sus valores teóricos. ¿Cuál estimador es mejor en términos de sesgo? ¿Cuál estimador es mejor en términos de error cuadrático medio?

Hay varias familias importantes de distribuciones de un solo parámetro para las cuales el parámetro es la media , incluyendo la distribución de Bernoulli con parámetro p y la distribución de Poisson con parámetro µ. Para estas familias, el estimador según el método de los momentos del parámetro es M, la media muestral. Similarmente, los parámetros de la distribución normal son µ y d2, entonces los estimadores según en método de los momentos son M  y Tn2.

Ejercicios Adicionales

Mathematical Exercise 8. Suponga que (X1, X2, ..., Xn) es una muestra aleatoria proveniente de una distribución gamma con un parámetro de forma k y un parámetro de escala b. Demuestre que los estimadores según el método de los momentos de k y b son respectivamente

  1. U = Mn2/ Tn2.
  2. V = Tn2/ Mn .

Simulation Exercise 9. Corra el experimento de la estimación gamma 1000 veces, actualizando cada 10 corridas para diferentes valores de parámetros de escala y forma. Anote el sesgo empírico y el error cuadrático medio en cada caso.

Mathematical Exercise 10. Suponga que (X1, X2, ..., Xn) es una muestra aleatoria proveniente de la distribución beta con parámetros a y 1. Demuestre que el estimador según el método de los momentos de a es Un = Mn / (1 - Mn ).

Simulation Exercise 11. Corra el experimento de la estimación beta 1000 veces, actualizando cada 10 corridas, para varios y diferentes valores de a. Anote el sesgo empírico y el error cuadrático medo en cada caso. Dibuje gráficos del sesgo empírico y el error cuadrático medio en función de a.

Mathematical Exercise 12. Suponga que (X1, X2, ..., Xn) es una muestra aleatoria proveniente de la distribución Pareto con parámetro de forma  a > 1. Demuestre que el estimador según el método de los momentos de a es Un = Mn / (Mn - 1).

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