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Con el método usado en este capítulo, todas las variables aleatorias en
el Proceso de Poisson on [0, 
)
son construídas por una secuencia de variables aleatorias independientes,
teniendo cada una la distribución
exponencial con parámetro r.
Luego, para simular este proceso, simplemente necesitamos saber como simular
variables exponenciales independientes usando números aleatorios.
Recuerde que si F es la función de distribución de una variable aleatoria X, entonces F-1 es la función cuantil. Además, si U es uniformemente distribuida en el intervalo (0, 1), (esto es, U es un número aleatorio) entonces F-1(U) tiene la misma distribución que X. Este método de cuantil de simulación de X requiere, desde ya, de que podamos calcular la función F-1 en forma cerrada. Afortunadamente, esto puede realizarse para el caso de distribución exponencial.
1.
Pruebe que si Uj, j = 1, 2, ... es una sucesión
de números aleatorios, entonces la sucesión que sigue simula variables
aleatorias independientes, cada una con distribución exponencial con parámetro
de tasa r.
Xj = -ln(1 - Uj) / r, j = 1, 2, ...
Ésto es, estas variables simulan los tiempos entre ocurrencias para un proceso de Poisson
en [0, ).
Luego, los tiempos de llegada de los puntos son simulados como
Tk = X1 + X2 + ··· + Xk para k = 1, 2, ...
y las variables de conteo son simuladas como
Nt = #{k: Tk 
t}
para t > 0.
Podemos tambien simular una variable de Poisson directamente. El método general en el siguiente ejercicio es tambien un caso especial del método de cuantil discutido previamente.
2.
Suponga que f
es una función de densidad discreta en {0, 1, 2, ...}. Si U es
uniformemente distribuida en
(0, 1) (un número aleatorio), pruebe que la variable definida a continuacion
tiene densidad f:
N = j si y solo si f(0) + ··· + f(j -
1) < U f(0) + ··· + f(j).
Ahora, podemos utilizar el resultado del ejercicio 4 para simular un proceso de Poisson en una region D de Rk. Ilustraremos el método con el rectángulo D = [a, b] × [c, d] en R2 donde a < c y b < d. Primero, use un número aleatorio U para simular una variable aleatoria N que tenga la distribución de Poisson con parámetro r(b - a)(d - c), como en el ejercicio previo. Luego, si N = n, sea U1, U2, ..., Un y V1, V2, ..., Vn los números aleatoriosers y defina
Xi = a + (b - a)Ui, Yi = c + (d - c)Vi para i = 1, 2, ..., n.
3.
Pruebe que los puntos aleatorios del proceso de Poisson con rate r
en D son simulados por
(Xi, Yi), i = 1, 2, ..., n.
Para mas informacion sobre procesos de Poisson y su varias generalizaciones, vease
2.8. Si X
denota la duracion de la llamada.
2.9. Si T
denota el tiempo de vida
2.14. Si T
denota el tiempo entre consultas.
2.15. Si X
denota el tiempo de vida.
2.16. Si X
denota la posición del primer defecto.
3.4. 0.1991
3.5. 0.1746
3.10. 2, 0.6325
3.11. r = 1 /
10, k = 4
3.16. 0.5752
3.20.
r = hits 6.67 porr minuto
4.6. 0.7798
4.7. 0.8153
4.12. 32, 5.657
4.20. 0.8818
4.23. 0.6
4.26. 0.9452
4.30.
r = 5.7 por minuto
5.6. 0.5814
5.11.
6.10. 0.7350
6.13.
7.3.
7.4.
7.5.
7.12. 0.0491
7.15. 0.2146
7.17.