1. Use
la definición de probabilidad conjunta, para probar queLaboratorio Virtual > El proceso de Poisson > 1 2 3 4 [5] 6 7 8
Suponga que cada ocurrencia en el proceso de Poisson, independientemente, es de una, o dos clases: clase 1 con probabilidad p y clase 0 con probabilidad q = 1 - p.
Esto es a veces conocido como separación de un proceso de Poisson. Por ejemplo, suponga que los ocurrencias son emisiones radioactivas y que cada partícula emitida es o detectada (tipo 1) o perdida (tipo 0) por un contador. Si los ocurrencias son demandas en una estación de servicios, entonces cada cliente puede ser clasificado por masculino (tipo 1) o femenino (tipo 0).
Estamos interesados en los ocurrencias de tipo 1 y tipo 0 en conjunto. Sea
1. Use
la definición de probabilidad conjunta, para probar que
P(Mt = j, Wt = k) = P(Mt = n | Nt = j + k)P(Nt = j + k).
2.
Justifique que en términos de tipos, las ocurrencias forman un
Proceso de pruebas de Bernoulli,
y entonces si hay j + k ocurrencias en el intervalo (0, t],
entonces el número de ocurrencias de tipo 1 tiene una distribución
binomial con parámetros j + k y p.
3. Use
los resultados de los Ejercicios 1 y 2 para probar que
P(Mt = j, Wt = k) = [e-rpt (rpt)j / j!][e-rqt (rqt)k / k!] para j, k = 0, 1, ...
Del ejercicio 3 surge que el número de ocurrencias de tipo 1 en el intervalo (0, t] y el número de ocurrencias de tipo 2 en el intervalo (0, t] son independientes y tienen distribución de Poisson con parámetros rpt y rqt, respectivamente. En general, las ocurrencias de tipo 1 y de tipo 2 forman procesos de Poisson separados e independientes.
4.
En el experimento
de Poisson de dos tipos varíe r, p, y t
con la barra de desplazamiento y observe la forma de la función de densidad. Ahora, sea r = 2, t
= 3, y p = 0.7. Realice el experimento 1000 veces con una frecuencia
de actualización de 10 y observe la convergencia aparente de las funciones de
frecuencia relativas a la función de densidad
5. En el experimento de Poisson de dos tipos, sea r = 2, t = 3, y p = 0.7. Realice el experimento 500 veces, actualizando luego de cada realización. Calcule la frecuencia relativa apropiada e invetigue empiricamente la independencia del número de hombres y del número de mujeres.
6. Suponga que lo clientes llegan a una estacion de servicio de acuerdo a un
modelo de Poisson, con rate r
= 20 por hora. Ademas, cada cliente, independientemente, es mujer con
probabilidad 0.6 y hombre con probabilidad 0.4. Halle la probabilidad de que en
un periodo de 2 horas, hallan concurrido como minimo 20 mujeres y como minimo 15
hombres.
Suponga que Nt no es observable, pero que si lo es Mt. Esta situacion es natural, por ejemplo, si los ocurrencias son emisiones radioactivas, y las ocurrencias de tipo1 son emisiones que son detectadas por un contador mientras que las de tipo 0 son emisiones que no son detectadas por el contador. Podriamos desear estimar el número total de ocurrencias Nt en (0, t] luego de observar el número de ocurrencias de tipo 1 Mt.
7.
Pruebe que la distribución condicional de Nt dado Mt = k
es la misma que la de la distribución de k + Wt.
8.
Pruebe que E(Nt
| Mt = k) = k + r(1 - p)t.
Así, si la tasa general r y la probabilidad p de una ocurrencia de tipo 1 son conocidas, entonces resulta a partir de la teoría general de la esperanza condicional que
Mt + r(1 - p)t
es el mejor estimador de Nt basado en Mt en el sentido de mínimos cuadrados.
9.
Pruebe que E{[Nt
- (Mt + r(1 - p)t)]2} = r(1
- p)t.
10.
En el experimento
de Poisson de dos tipos, sea r = 3, t = 4, y p
= 0.8. Realice el experimento100 veces, actualizando luego de cada realización.
11. Suponga que una pieza de un material radioactivo emite partículas acorde a
un modelo de Poisson con rate r
= 100 por segundo. Ademas, suponga que un contador detecta cada partícula emitida, independientemente, con probabilidad 0.9. Si el
número de partículas
detectadas en un periodo de 5 segundosa es 465,
Suponga que cada arrival en el proceso de Poisson, independientemente, es de uno de los k-tipos: tipo i con probabilidad pi para i = 1, 2, ..., k. Desde ya, debemos tener
p1 + p2 + ··· + pk = 1.
Denotemos por Mi(t) el número de ocurrencias de tipo i en (0, t] para i = 1, 2, ..., k.
12.
Pruebe que para t fijo, M1(t), M2(t),
..., Mk(t) son independientes y Mi(t)
tiene la distribución de Poisson con parámetro rpit.
En general, M1(t), M2(t), ..., Mk(t) son procesos de Poisson independientes.