Laboratorio Virtual >El Proceso de Poisson > 1 2 3 [4] 5 6 7 8

4. La Distribución de Poisson 

La Función de Densidad

Pruebe que el  k-ésimo tiempo de llegada tiene una función de densidad gamma con parámetro de forma k y  parámetro de tasa  r:

f_k(t) = (rt)^{k - 1}re^-rt / (k - 1)!, t > 0.

Recuerde que como mínimo k puntos llegan en el intervalo (0, t] sí y solo si el k-ésimo punto ocurre en el tiempo t:

N_t k si y solo si T_k t.

1. Use integración por partes para probar que

P(N_t k) = _{(0, t]} f_k(s)ds = 1 -_{j = 0, ..., k - 1} exp(-rt) (rt)^j / j!.

2. Use el resultado del Ejercicio 1 para probar que la función de densidad del número de ocurrencias en el intervalo (0, t] es

P(N_t = k) = e^-rt (rt)^k / k! para k = 0, 1, ...

La distribución correspondiente se llama Distribución de Poisson con parámetro rt; el nombre se debe a Simeon Poisson.

3. En el experimento de Poisson, varíe r y t con el barra de desplazamiento y observe al forma de la función de densidad. Ahora, con r = 2 y t = 3, realice el experimento 1000 veces actualizando con una frecuencia de 10 y observe la convergencia aparente de la función de frecuencia relativa a la función de densidad.

La distribución de Poisson es una de las más importantes en probabilidad. En general, una variable aleatoria discreta N en un experimento se dice que tiene una dsitribucion de Poisson con parámetro c > 0 si tiene función de densidad.

g(k) = P(N = k) = e^-c c^k / k! para k = 0, 1, ...

4. Pruebe que g es realmente una función de densidad.

5. Pruebe que P(N = n - 1) < P(N = n) si y solo si n < c

Esto es, la distribución es unimodal, donde el modo ocurre en el entero mayor en c.

6. Suponga qua la demanda de un servidor tiene un modelo de Poisson tasa r = 5 por minuto. Halle la probabilidad de que haya como mínimo 8 demandas en un período de  2 minutos.

7. Defectos en un tipo de alambre siguen un modelo de Poisson con tasa 1.5 por metro. Halle la probabilidad de que no haya mas de 4 defectos en una pieza de 2 metros de alambre.

Momentos

Suponga que N tiene una disitribucion de Poisson con parámetro c. Los siguientes ejercicios dan la media, la varianza, y la  función generadora de probabilidades de N.

8. Pruebe que E(N) = c

9. Pruebe que  var(N) = c

10. Pruebe que  E(u^N) = exp[c(u - 1)] para s R.

Retornando a los procesos de Poisson, se sigue que

E(N_t) = rt, var(N_t) = rt.

Nuevamente, se ve que r puede ser interpretado como la tasa de ocurrencias promedio. En un intervalo de longitud t, esperamos aprioximadamente rt ocurrencias.

11. En el experimento de Poisson, varie r y t con la barra de desplazamiento y observe la localizacion y el tamaño de la media/desviacion standard bar. Ahora con r = 3 y t = 4, realice el experimento 1000 veces con una frecuencia de actualizacion de 10 y observe la aparente convergencia de la media y la desviacion standard muestral a la dsitribucion de la media y desviacion standard, respectivamente.

12. Suponga que los clientes llegan a una estacion de servicio de acuerdo a un modelo de Poisson model, at a tasa of r = 4 por hora. Halle la media y la desviacion standard del número de clientes en un período de 8 horas.

Incrementos Independientes y Estacionarios

Veamos que significa la propiedad basica de regeneracion en un proceso de Poisson en terminos de variables contables.

13. Pruebe qus si  s < t, entonces N_t - N_s = número de ocurrencias en (s, t]

Recuerde que nuestra suposicion es que el proceso esencialmente empieza en el tiempo s y que el comportamiento después del tiempo s es independiente del comportamiento antes del tiempo s.

14. Demuestre que:

1. N_t - N_s tiene la misma distribución que N_t-s, es decir de Poisson, con parámetro r(t - s).
2. N_t - N_s y N_s son independientes.

15. Suponga que N y M son variables de Poisson independientes con parameteros c y d respectivamente. Pruebe que N + M tiene distribución de Poisson con parámetro c + d.

1. De una demostración probabilística, basada en el proceso de Poisson.
2. De una demostración usando funciones de densidad.
3. De una demostración usando función generadora de momentos.

16. En el experimento de Poisson, elija r = 1 y t = 3. Realice el experimento 1000 veces, actualizando luego de cada realización. Calculando la función de frecuencia relativa apropiada, investigue empíricamente la indepencia de las variable aleatorias N₁ y N₃ - N₁.

Aproximacion Normal 

Ahora, note que para k = 1, 2, ...

N_k = N₁ + (N₂ - N₁) + ··· + (N_k - N_k-1).

Las variables aleatorias en la suma de la derecha son independientes y cada una tiene la distribución de Poisson con parámetro r.

17. Use el teorema del límite central para probar que la distribución de la variable estandarizada que sigue converge a la distribución normal estándard cuando k tiende a  infinito.

(N_k - kr) / (kr)^1/2.

De un modo un poco mas general, el mismo resulatdo vale cuando el entero k es reemplazado por un número real positivo t.

18. En el experimento de Poisson, sea r = 1 y t =1. Aumente r y t y note como el gráfico de la función de densidad toma una forma mas acampanada.

19. En el experimento de Poisson, sea r = 5 y t = 4. Realice el experimento 1000 veces con una frecuencia de actualizacion de. Calcule y compare los siguientes items:

1. P(15 N₄ 22).
2. La frecuencia relativa del evento {15 N₄ 22}.
3. La aproximacion normal a P(15 N₄ 22).

20. Suponga que las demandas de un servidor siguen un modelo de Poisson con tasa r = 5 por minuto. Calcule la aproximación normal a la probabilidad de que haya al menos 280 demandas en un período de 1 hora.

Distribuciones Condicionales

21. Sea t > 0. Pruebe que la distribución condicional de T₁ dado N_t = 1 es unifome en (0, t). Interprete el resultado.

22. En general, dado N_t = n, pruebe que la distribución condicional de T₁, ..., T_n es la misma que la distribución de la estadísitca de orden de un espacio muestral de tamaño  n de una distribución uniforme en (0, t).

Note que la distribución condicional en el último ejercicio es independiente del parámetro r. Este resultado significa que el modelo de Poisson  da la distribución más "aleatoria" de puntos en el tiempo.

23. Suponga que las demandas de un servidor sigue un modelo de Poisson, y que una demanda ocurre en un período de cinco minutos. Halle la probabilidad de que la demanda ocurra durante los tres primeros minutos del período.

24. En el experimento de Poisson, sea r = 1 y t = 2. Realice el experimento 1000 veces, actualizando luego de cada realización. Calcule la frecuencia relativa apropiada e investigue empíricamente el resultado teórico del ejercicio 5.

25. Sea 0 < s < t y sea n un  entero positivo. Pruebe que la distribución condicional de N_s dado N_t = n es binomial con parámetros n y  p = s/t. Note que la distribución condicional es independiente de la  tasa r. Interprete el resultado.

26. Suponga que las demandas de un servidor siguen un modelo de Poisson, y que ocurren 10 demandas durante un período de 5 minutos. Halle la probabilidad de que como mínimo 4 demandas ocurran durante los primeros 3 minutos del período.

Estimación de la Tasa

En muchas situaciones prácticas, the tasa r del proceso no se conoce y debe ser estimado  observando el número de ocurrencias en un intervalo.

27. Pruebe que E(N_t / t) = r y luego N_t / t es un estimador no-sesgado de r.

Dado que el estimador es no-sesgado, la varianza mide el error cuadrático medio del estimador.

28. Pruebe que var(N_t / t) = r / t y luego var(N_t / t) decrece a 0 cuando t crece a infinito.

29. En el experimento de Poisson, sea r = 3 y t = 5. Realice el experimento 100 veces, actualizando luego de cada realización.

1. Para cada realización, calcule el estimador de r basado en N_t.
2. Sobre las 100 realizaciones, calcule el promedio de los errores cuadráticos.
3. Compare el resultado en (b) con la varianza en el ejercicio 26.

30. Suponga que las demandas de un servidor siguen un modelo de Poisson con parámetro r por minuto desconocido. En un período de una hora el servidor recibe 342 demandas. Estime r.

Laboratorio Virtual > El proceso de Poisson > 1 2 3 [4] 5 6 7 8
Contenidos | Applets | Conjunto de datos | Biografias | Recursos | Palabras claves| ©