Introduction

1. Introducción

Consideraremos un proceso en el que los puntos ocurren aleatoriamente en el tiempo. La frase puntos en el tiempo es genérica y podría representar, por ejemplo:

Los tiempos en que una pieza de material radioactivo emite partículas
Los tiempos en que los clientes llegan a una estación de servicio
Los tiempos en que llegan requerimiento a un servidor de computadoras
Los tiempos en que ocurren accidentes en una interesección particular

Resulta ser que bajo ciertas suposiciones relacionadas con independencia y uniformidad en el tiempo, un único modelo de un parámetro gobierna todos esos procesos. Este es un resultado sorprendente y debido a ello el proceso de Poisson (llamado así por Simeon Poisson) es uno de los más importantes en la teoría de probabilidad.

Variables Aleatorias

Existen dos grupos de variables aleatorias que pueden usarse para describir el proceso, correspondiientes a dos experimentos distintos; estos grupos son duales uno con el otro en algún sentido .

Primero, sea T_k el tiempo de ocurrencia del k-ésimo punto para k = 1, 2, ... El experimento gamma consiste en correr el proceso hasta la ocurrencia k-ésima y observar el tiempo de llegada de la misma. Luego, sea N_t el número de ocurrencias en un intervalo (0, t] for t 0. El experimento dePoisson consiste en correr el proceso hasta el tiempo t y observar el número de ocurrencias. Note que

N_t k si y solo si T_k t

dado que cada uno de estos eventos significa que hay al menos k ocurrencias en el intervalo (0, t].

Suposiciones Básicas

Las suposiciones que hacemos se describen intuitivamente (pero imprecisamente) como sigue: Si fijamos un tiempo t, ya sea un valor constante o uno de los tiempos de una ocurrencia, entonces el proceso después del tiempo t es independiente del proceso antes del tiempo t y se comporta probabilísticamente como el proceso original. Es decir, el proceso aleatorio tiene una propiedad de regeneración. Haciendo estas suposiciones precisas podremos obtener la distribución de cada una de los siguientes:

Los tiempos entre ocurrencias ( o puntos)
Los tiempos de llegada de los puntos
El número de ocurrencias en un intervalo de tiempo

$Mathematical Exercise$ 1. Piense sobre la suposición básica para cada una de las aplicaciones específicas dadas previamente.