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La propiedad básica del proceso de Poisson es que el comportamiento del proceso después de una llegada debe ser independiente al comportamiento antes de la llegada , y probabilísticamente como el procesos original (regeneración).
En particular, la propiedad de regeneración general significa que los tiempos entre llegadas de los puntos, conocidos como tiempos entre ocurrencias, deben ser independientes, variables aleatorias indénticamente distribuidas. Formalmente, los tiempos entre ocurrencias se definen como sigue:
X1 = T1, Xk = Tk - Tk-1 para k = 2, 3, ...
donde Tk es el tiempo de la ocurrencia k-ésima. Supondremos que
P(Xi > t) > 0 para cada t > 0.
Ahora, también queremos que la regeneración ocurra en un tiempo fijo t. En particular, si el primer punto no ha ocurrido para el tiempo t, entonces el tiempo restante hasta que llegue, tiene la misma distribución que el tiempo hasta el primer punto. Esto es conocido como la propiedad de falta de memoria y puede ser establecida en términos de un tiempo entre ocurrencias genérico X como sigue
P(X > t + s) | X > s) = P(X
> t) para todo s, t
0.
Sea G la notación para la función de distribución de la cola derecha de X:
G(t) = P(X > t), t 0.
1.
Pruebe la que propiedad de falta de memoria es equivalente a la ley de
exponentes:
G(t + s) = G(t)G(s)
para todo s, t 0.
2.
Pruebe que las únicas soluciones de la ecuación funciónal en el Ejercicio 1, que
son continuas por derecha, son funciones exponenciales. Sea c = G(1).
Inductivamentes pruebe que
En el contexto del Ejercicio 2 sea r = -ln(c). Entonces r > 0 (dado que 0 < c < 1) luego
G(t) = P(X > t) = e-rt, t 0.
Luego X tiene una distribución continua con función de distribución acumulativa dada por
F(t) = P(X 
t)
= 1 - G(t) = 1 - e-rt,
t 0.
3.
Pruebe que la función de densidad de X es
f(t) = re-rt, t 0.
Una variable aleatoria con esta densidad se dice que tiene distribución exponencial con parámetro de tasa r. El recíproco 1 / r es conocido como el parámetro de escala.
4.
Pruebe directamente que la densidad exponencial es realmente una función de
densidad de probabilidad.
5.
En el experimento
exponencial, varie r con la barra de desplazamineto y observe como cambia la
forma de la función de densidad en probabilidad. Ahora, sea r = 2,
realice el experimento1000 veces actualizando con una frecuencia de 10, y observe la
aparente convergencia de la función de densidad empírica a la función de
densidad real.
6.
En el experimento
exponencial, sea r = 1. Realice el experimento 1000 veces,
actualizando luego de cada realización. Calcule la frecuencia relativa apropiada para
investigar empíricamente la propiedad de falta de memoria
P(X > 3 | X > 1) = P(X > 2).
7.
Pruebe que la función cuantil
de X es
F-1(p) = -ln(1 - p) / r para 0 < p < 1.
En particular, la mediana de X ocurre en ln(2) / r, el primer cuartil en [ln(4) - ln(3)] / r, y el tercero en ln(4) / r.
8. Suponga que la duración de un llamado por teléfono (en minutos) esta
distribuido exponencialmente con parámetro de tasa r = 0.2.
9.
Suponga que le tiempo de duración de un cierto equipo electrónico (en horas)
está distribuido exponencialmente con parámetro r = 0.001.
Los siguientes ejercicios dan la media, la varianza, y la función de generación de momentos de la distribución exponencial
10.
Pruebe que
E(X) = 1 / r.
11.
Pruebe que var(X)
= 1 / r2.
12.
Pruebe que E[exp(uX)]
= r / (r - u) para u < r.
El parámetro r es conocido como la tasa del proceso de Poisson. En promedio, hay 1 / r unidades de tiempo entre ocurrencias, por lo que las puntos llegan a una tasa promedio de r por unidad de tiempo. Note también que la mediana es siempre menor que la media para la distribución exponencial:
ln(2) / r < 1 / r.
13.
En el experimento
exponencial, varíe r con la barra de desplazamiento y observe como cambia la
media/desviación estándard. Ahora, sea r = 0.5, realice el experimento 1000
veces actualizando con una frecuencia de 10, y observe la convergencia aparente de la media
empírica y la desviación estandard a la distribución media y desviación standard,
respectivamente.
14.
Suponga que el tiempo entre demandas de un servidor (en segundos) es
exponencialmente distribuido con parámetro de tasa 2.
15.
Suponga que la duración X de una mecha (en unidades de 100 horas) es
distribuido exponencialmente con
16.
La posicion X
del primer defecto en una cinta digital (en cm) tiene una distribución exponencial con media 100.