1.
Realice el experimento
binomial con n = 50 y p = 0.1. Observe los puntos
aleatorios en tiempo discreto.Laboratorio Virtual > El proceso de Poisson > 1 2 3 4 5 [6] 7 8
En cierto sentido, el proceso de Poisson es una versión continua de tiempo del proceso de pruebas de Bernoulli. Para ver ésto, suponga que pensamos cada suceso en una prueba de Bernoulli como un punto aleatorio en un tiempo discreto. Luego, los procesos de pruebas de Bernoulli, como los procesos de Poisson, tienen la propiedad de regeneración: en cada tiempo fijo y en cada tiempo de llegada, el proceso "comienza nuevamente," independietemente del pasado. Con esta analogía en mente, podemos ver conexiones entre tres pares de distribuciones.
1.
Realice el experimento
binomial con n = 50 y p = 0.1. Observe los puntos
aleatorios en tiempo discreto.
2.
Realice el experimento
de Poisson con t = 5 y r = 1. Observe los puntos
aleatorios en tiempo continuo y compare con el comportamiento en el ejercicio 1.
Estudiemos más profundamente la conexión entre las distribucones binomial y de Poisson . Considere la distribución binomial en la cual el parámetro de éxito p depende del número de ensayoss n. Además, suponga que
npn 
c
cuando n
.
3.
Pruebe que esta suposición implica que
pn 0
cuando n .
luego la probabilidad de éxito es menor cuando el número de ensayos es mayor.
Probaremos que la distribución binomial converge, cuando n crece, a la distribución de Poisson con parámetro c.
4.
Para un entero positivo k fijo, pruebe que
C(n, k) pnk (1 - pn)n - k = (1 / k!)npn(n - 1)pn ··· (n - k + 1)pn (1 - npn / n)n - k.
La parte de la izquierda en la ecuacion del ejercicio 4 es la funcion de densidad en probabilidad binomial evaluada en k.
5.
Pruebe que para j fijo,
(n - j)pn c
cuando n .
6. Use
un teorema de cálculo para probar que para k fijo,
(1 - npn / n)n-k e-c
cuando n .
7. Use
los resultados de los ejercicios 4-6 para probar que
C(n, k) pnk (1 - pn)n
- k e-c
ck / k! cuando n .
8.
En el experimento
binomial, sea n = 30 y p = 0.1 y realice la simulacion
1000 veces con una frecuanci de actualizacion de 10. Calcule y compare cada una
de las siguientes:
4) 4}. 4) 9.
Pruebe que la media y la varianza de la distribución binomial converge a la
media y a la varianza de la distribución de Poisson, respectivamente, cuando n
crece.
10. Suponga que tenemos 100 chips de memoria, cada uno es defectuoso con una
probabilidad de 0.05, independietemente de los otros. Approxime la probabilidad
de que haya como mínimo 3 defectuosos.
Recuerde que la distribución binomial puede ser aproximada por la distribución normal, en virtud del teorema central del límite, y puede ser aproximada por la distribución de Poisson, como recien hemos estudiado. La proxiamcion normal trabaja bien cuando np y n(1 - p) son grandes; ambos deben ser como mínimo 5. La aproximación de Poisson trabaja bien cuando n es grande, p pequeno de modo que np es de tamano moderado.
11.
En el experimento
de línea de tiempo binomial, sea n = 40 y p = 0.1 y
realice la simulacion 1000veces con una frecuencia de actualizacion de 10.
Calcule y compare cada uno de los siguientes items
12.
En el experimento
de línea de tiempo binomial, sea n = 100 y p = 0.1 y
realice la silmulación
1000 veces con una frecuencia de actualización de 10. Calcule y compare cada uno
de los siguientes items:
13.
Un texto contiene 1000 palabras. Asuma que cada palabra, independientemente de
las otras, tiene un error de ortografía con probabilidad p.
La analogía a las pruebas de Bernoulli permite otra construcción del proceso
de Poisson. Suponga que se tiene un proceso que produce puntos aleatorios en el tiempo. Para A 
[0, ),
si m(A) denota la longitud de A y N(A)
el número de puntos aleatorios en A. Suponga que para un r > 0,
los siguientes axiomas se satisfacen:
r
cuando m(A) 0
(propiedad de la tasa ). 0
cuando m(A)
0 (propiedad de esparcimiento).Los siguientes ejercicios probarán que estos axiomas definen el proceso de Poisson . Primero, sea
Nt = N(0, t], Pn(t) = P(Nt
= n) para t 
0, n = 0, 1, 2,
...
14. Use
los axiomas para probar que P0 satisface la siguiente
ecuación diferencial y condición inicial:
15.
Resuelva el problema de valores iniciales en el Ejercicio 14 para probar que
P0(t) = e-rt.
16. Use
los axiomas para probar que Pn satisface la
siguiente ecuación deferencial y la condición inicial para n = 1, 2, ...:
17.
Resuelva la ecuación diferencial del Ejercicio 16 recursivamente para probar que
Pn(t) = e-rt (rt)n / n! para n = 1, 2, ...
Del Ejercicio 17, se sigue que Nt tiene la distribución de Poisson con parámetro rt. Ahora si Tk denota El k-ésimo tiempo de llegada for k = 1, 2, .... como antes, debemos tener
Nt k
si y solo si Tk t.
18.
Pruebe que Tk
tiene la distribución gamma con parámetros k y r.
Finalmente, si Xk = Tk - Tk - 1 denota el k-ésimo tiempo entre ocurrencias, para k = 1, 2, ...
19.
Pruebe que los tiempos entre ocurrencias Xk, k = 1, 2, ... son
independientes y que cada uno tiene la distribución exponencial con parámetro r.