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El proceso de Poisson puede ser definido en dimensiones mayores, como un modelo de puntos aleatorios en el espacio. Algunos ejemplos específicios de "puntos aleatorios" son
Nuestra construcción original del proceso
de Poisson en [0, 
),
empezando con los tiempos entre ocurrencias
, no se generaliza fácilmente, porque esta construcción depende básicamente
del orden de los números reales. Sin enmbargo, la construcción
alternativa vista en la última sección, motivada en la analogía
de los ensayos de Bernoulli, se generaliza naturalmente.
Fije k, si m denota una medida k-dimensional,
definida en subconjuntos de Rk. Esto es, si k = 2, m(A)
es el área de A y sif k = 3, m(A)
es el
volúmen de A. Ahora, si D es un subconjunto
de Rk
y considere un proceso que produce puntos aleatorios en D.
Para A 
D
con m(A) positivo y finito, y denotemos por N(A)
el número de puntos aleatorios en A. Esta colección de variables
aleatorias es un proceso de Poisson en D con parámetro
de densidad r si se satisfacen los siguientes axiomas:
1.
En el proceso
de Poisson de dos dimensiones, varíe la amplitud w y la tasa
r.
Note la localización y la forma de la densidad de N. Ahora con w = 3
y r
= 2, realice la simulción 1000 veces con una frecuencia de actualización de 10. Note
la convergencia aparente de la densidad empírica a la densidad real.
Usando nuestros resultados previos de momentos, se deduce que
E[N(A)] = r m(A), var[N(A)] = r m(A).
En particular, r puede ser interpretado como la densidad esperada de los puntos aleatorios, justificándose así el nombre del parámetro.
2.
En el proceso
de Poisson en dos dimensiones, varíe la amplitud w y rate r.
Note la localización y la forma de la densidad de N. Ahora, con w = 4
y r = 3, realice la simulación 1000 veces con una frecuencia de
actualización de 10. Observe la convergencia aparente de los momentos empíricos
a los momentos reales.
3. Suponga que los defectos de una lamina de material tienen un modelo de
Poisson con un promedio de 1 defecto cada 2 metros cuadrados. En 5 metros
cuadrados de material,
4. Suponga que las pasas en una torta siguen un modelo de Poisson con un
promedio de 2 pasas por pulgada cúbica. En una porción de torta que mide 3 por 4
por 1 pulgadas,
5. Suponga que la existencia en una forestación de cierto tipo de árboles que
exceden una medida dada sigue un modelo de Poisson. En una región de media milla cuadrada hay 40
árboles que exceden
la medida inidicada.
Considere el proceso de Poisson en R2 con parámetro de
densidad r. Para t > 0, sea Mt = N(Ct)
donde Ct es la región circular de radio t,
centrada en el origen. Sea Z0 = 0 y para k = 1, 2, ...
sea Zk
la distancia del k'esimo punto mas cercano al origen. Note que Zk
es el analogo del k'th arrival time para el proceso de Poisson process
en [0, ).
6.
Pruebe que Mt
tiene la distribución de Poisson con parámetro 
t2r.
7.
Pruebe que Zk
t si solo
si Mt 
k.
8.
Pruebe que
Zk2
tiene la distribución gamma con parámetro de forma k y parámetro de
tasa r.
9.
Pruebe que Zk
tiene la función de densidad
g(z) = 2( r)k
z2k - 1 exp(- r z2)
/ (k - 1)!, z > 0.
10.
Pruebe que
Zk2 -
Zk - 12, k = 1, 2, ... son
independientes y que cada uno tiene distribución exponencial con parámetro de tasa
r.
Nuevamente, el modelos de Poisson define el modo mas aleatorio de distribuir puntos en el espacio. Specifically, consider the Poisson process on Rk with parameter r. Recall again that we consider subsets A of Rk with m(A) positive and finite.
11.
Suponga que una región A contiene exactamente un punto aleatorio.
Pruebe que la posicion
Generalizando, si A contiene n puntos, entonces las posiciones de los puntos son independientes y cada una es uniformemente distribuida en A.
12.
Suponga que los defectos en un tipo de material sigue un modelo de Poisson. Se
sabe que una porcion cuadrada de lado 2 metros contiene un defecto. Halle la
probabilidad de que el defecto se encuentre en una región circular de radio 1/4
metro.
13.
Suponga que una región A tiene n puntos
aleatorios. Ses B un subconjunto de A. Pruebe que el
número de puntos aleatorios en B tiene distribución
binomial con parámetros n
y p = m(B) / m(A).
14.
Generalizando, suponga que una región A está particionada en k
subconjuntos B1,
B2, ..., Bk. Pruebe que la distribución
condicional de (N(B1), N(B2),
..., N(Bk)) dado N(A) = n
es multinomial con parámetros n y pi
= m(Bi) / m(A), i = 1, 2, ..., k.
15.
Suponga que las pasas en una torta sigue un modelo de Poisson. Una procion de 6
pulgadas cúbicas que contiene 20 pasas es divida en tres partes iguales. Halle
la probabilidad de que cada parte contenga como mínimo 6 pasas.
La separación de un proceso de Poisson de dimensión k funciona de la misma manera que la separación del proceso de Poisson estándard. Específicamente, suponga que los puntos aleatorios son de j tipos diferentes y que cada punto aleatorio, independiendetemente de los otros es de tipo i con probabilidad pi para i = 1, 2, ..., j. Denotemos por Ni(A) el número de puntos del tipo i en una región A, para i = 1, 2, ..., j.
16.
Pruebe que
Generalizando, los puntos de tipo i forman un proceso de Poisson con parámetro de densidad rpi para cada i, y estos procesos son independientes.
17.
Suponga que los defectos en una lámina de material siguen un modelo de Poisson,
con un promedio de 5 defectos por metro cuadrado. Cada defecto,
independientemente de los otros es benigno con probabilidad 0.5, moderado
con probabilidad 0.3, o severo con probabilidad 0.2.
Considere una pieza circular de material de radio 1 metro.