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Sabemos que los tiempos entre ocurrencias X1, X2, ... son variables aleatorias continuas, independientes, cada una con función de densidad de probabilidad exponencial:
f(t) = re-rt, t 0.
El k-ésimo tiempo de llegada es simplemente la suma de los primeros k tiempos entre ocurrencias:
Tk = X1 + X2 + ··· + Xk.
Luego, el k-ésimo tiempo de llegada es uan variable aleatoria continua y su función de densidad es la k-ésima convolución de f.
1.
Pruebe que la función de densidad del k-ésimo tiempo de llegada es
fk(t) = (rt)k - 1re-rt / (k - 1)!, t > 0.
Esta distribución es la distribución gamma con parámetro de forma k y parámetro de tasa r. Nuevamente, 1 / r es conocido como el parámetro de escala. Una versión más general de la distribución gamma, permitiéndole a k no ser entero, es estudiada en el capítulo Distribuciones Especiales.
Note que dado que los tiempos de ocurrencia son continuos, la probabilidad de un arrival en cualquier instante de tiempo es 0. Es decir, podemos interpretar Nt como el número de ocurrencias en (0, t).
2.
En el experimento
gamma, varíe r y k con la barra de desplazamiento y observe
como cambia la forma de la función de densidad. Ahora, sea r = 2
y k = 3, realice el experimento 1000 veces con una frecuencia de
actualizacion de 10, y observe la convergencia aparente de la función de densidad
empírica a
la función de densidad real.
3.
Realice el gráfico de la función de densida del Ejercicio 1. Pruebe que el modo
de la distribución ocurre en (k - 1) / r.
4. Suponga la llegada de clientes a una estacion de servicios de acuerdo a un
modelo de Poisson, con tasa r
= 3 por hora. Relativo a un tiempo inicial dado, halle la probabilidad de que el
segundo cliente llegue luego de una hora.
5.
Los defectos en un tipo de alambre tiene un modelo de Poisson, con tasa 1 por 100
metros. Halle la probabilidad de que el 5-ésimo defecto esté localizado entre
los 450 y 550 metros.
La media, la varianza, y la función generadora de momentos de Tk pueden ser hallados usando propiedades básicas y resultados conocidos para la distribución exponencial
6.
Pruebe que E(Tk)
= k / r.
7.
Pruebe que var(Tk)
= k / r2.
8.
En el experimento
gamma, varíe r y k con la barra de desplazamiento y observe
como cambia el tamano y la ubicación de la media/desviación standard. Ahora sea r = 2
y k
= 3, realice el experimento1000 veces con una frecuencia de actualizacion de 10, y observe
la convergencia aprente de los momentos empiricos a los momentos reales.
9.
Pruebe que E[exp(uTk)]
= [r / (r - u)]k para u < r.
10.
Suponga que la demanda de un servidor sigue un modelo de Poisson con tasa r = 5
por minuto. Relativo a un tiempo inicial, calcule la media y la desviación standard del tiempo de la
10ma. demanda.
11.
Suponga que Y
tiene una distribución gamma con media 40 y desviación standard 20. Halle k
y r.
12.
Suponga que V
tiene la distribución gamma con parametro de forma j y parámetro de
tasa r,
que W tiene la distribución gamma con parametro de forma k
y parámetro de tasa r, y que V y W son independientes.
Purebe que V
+ W tiene la distribución gamma con parametro de forma j + k
y parámetro de tasa r.
13.
En el experimento
gamma, varíe r y k con la barra de desplazamientos y observe
como cambia la forma de la función de densidad. Ahora, sea r = 2 y k = 5,
realice el experimento
1000 veces con un frecuencia de actualización de 10, y observe la convergencia aparente
de la función de densidad empírica a la función de densidad real.
Aún cuando se está restringiendo a k a ser 5 o menos, note que la función de densidad del k-ésimo tiempo de llegada se convierte en una forma mas acampanada a medida que k crece (para r fijo) . Esta es otra aplicación del teorema central del límite, dado que el k-ésimo tiempo de llegada es la suma de k variables aleatorias independientes idénticamente distribuidas (the los tiempos entre ocurrencias).
14. Use
el teorema central del límite para probar que la distribución de la variable estandarizada que
se define en lo que sigue, converge a la distribución
normal estandarizada cuando k
tiende a infinito.
(Tk - k / r) / (k1/2 / r) = (rTk - k) / k1/2.
15.
En el experimento
gamma, sea k = 5 y r = 2. Realice el experimento 1000
veces, actualizando luego de cada realización. Calcule y compare los siguientes
items:
T5 3) T5
3} T5
3). 16.
Suponga que los accidentes en una intersección ocurren de acuerdo a un modelo de
Poisson, a una tasa de 8 por año. Calcule la aproximación normal al evento: que el 10'mo. accidente (relativo
a un tiempo inicial dado) ocurra dentro de los 2 años.
Muchas veces, en la práctica, la tasa r del proceso es desconocido y debe ser estimado observando los tiempos de ocurrencia.
17.
Pruebe que E(Tk / k)
= 1 / r y luego Tk / k es una estimación
no-sesgada
of 1 / r.
Dado que el estimador es no-polarizado, la varianza mide el error cuadrático medio del estimador.
18.
Pruebe que var(Tk
/ k) = 1 / (kr2) y luego var(Tk / k)
decrece a 0 cuando k tiende a infinito.
Note que Tk / k = (X1 + X2 + ··· + Xk) / k donde Xi es the i-ésimo tiempo entre ocurrencias . Luego, el estimador de 1 / r puede ser interpretado como una muestra media de los tiempos entre ocurrencias. Un estimador natural de la tasa es k / Tk. Sin embargo, este estimador tiende a sobre estimar r.
19. Use
la desigualdad de Jensen
para probar que E(k /
Tk) r.
20.
Suponga que la demanda de un servidor sigue un modelo de Poisson. Empezando a
las 12:00 del mediodía de un cierto dia, las demandas son registradas. La
demanda
100 ocurre a las 12:15. Estime la tasa del proceso.