S. (En este proyecto, como notación conveniente usamos a veces
simplemente la palabra en.)Laboratorio Virtual > Epacios de Probabilidad > 1 [2] 3 4 5 6 7 8
La teoría de conjuntos es la base de la probabilidad, así como para la mayoría de las ramas de la matemática. En probabilidad, la teoría de conjuntos se usa para proveer un lenguaje para el modelado y para la descripción de experimentos aleatorios
Primero, un conjunto es simpemente una colección de
objetos; los objectos son llamados elementos del conjunto. La
afirmación de que s es un elemento del conjunto S
se escribe como: s
S. (En este proyecto, como notación conveniente usamos a veces
simplemente la palabra en.)
Si A y B son conjuntos entonces A es un subconjunto de B si cada elemento de A es también un elemento de B:
A 
B
si y solo si s A
implica que s
B.
Por definición, un conjunto está completamente determinado por sus elementos. Así, los conjuntos A y B son iguales si tienen los mismos elementos:
A = B si y solo
si A
B y B A.
En la mayoría de las aplicaciones de la teoría de conjuntos, todos los conjuntos bajo discusión son subconjuntos de un cierto conjunto universal. En oposición está el conjunto vacío, denominado por Ø, es el conjunto que no contiene ningún elemento.
1. Use
la definición formal para implicación para mostrar que el conjunto
vacío es un subconjunto de cualquier conjunto A.
Un conjunto se dice que es contable si puede ponerse en una correspondencia uno a uno con un subconjunto de los enteros. Así, un conjunto contable puede ser finito, o infinito que pueda "contarse" con los enteros. Opuestamente, el conjunto de los números reales es no contable. Como veremos, los conjuntos contables juegan un rol especial en probabilidad. El término correspondencia uno a uno se define formalmente en la próxima sección sobre Funciones y Variables Aleatorias.
El espacio muestral de un experimento aleatorio es un conjunto S
que incluye todos los posibles resultados de un experimento; el espacio muestral
juega el rol del conjunto universal cuando se modela el experimento. Para
experimentos simples, el espacio muestral puede ser precisamente el conjunto de
los posibles resultados. A veces , para experimentos complejos, el espacio
muestral es un conjunto matemáticamente conveniente que incluye los resultados
posibles y quizas también otros elementos. Por ejemplo, si el experimento es
tirar un dado y registrar el resultado, el espacio muestral es S = {1, 2, 3, 4, 5, 6},
el conjunto de posibles resultados. Por otro lado, si el experimento es capturar
una cigarra y medir su peso (en miligramos), vamos a considerar conveniente que
el espacio muestral sea S
= [0, 
),
aunque la mayoría de los elementos de este conjunto sean prácticamente
imposibles.
Los subconjuntos del espacio muestral de un experimento son llamados eventos. Así, un evento es un conjunto de resultados de un experimento. Cada vez que se raliza el experimento, un determinado evento A ocurre, si el resultado del experimento es un elemento de A, o no ocurre, si el resultado del experimento no es un elemento de A. Intuitivamente, se debe pensar en un evento como una afirmación significativa acerca de un experimento.
El espacio muestral S en sí es un evento; por definición, ocurre siempre. En el otro extremo, el conjunto vacío Ø también es un evento; por definición no ocurre nunca. Generalizando, si A y B son eventos en el experimento y A es un subconjunto de B, entonces la ocurrencia de A implica la ocurrencia de B.
Generalmente, el resultado de un experimento aleatorio consiste en uno o mas ( quizás infinitamente muchas) mediciones reales, y así, el espacio muestral consiste de todas las posibles secuencias de mediciones. Así, necesitamos una buena notación para construir los conjuntos de secuencias.
Supongamos primero que tenemos n conjuntos S1, S2, ..., Sn. El Producto Cartesiano (llamado así por René Descartes) de S1, S2, ..., Sn se escribe como
S1 × S2 × ··· × Sn
es el conjunto de todas las secuencias (ordenadas) (s1, s2 , ..., sn) donde si es un elemento de Si para cada i. Recuerde que dos secuencias ordenadas son las mismas si y solo si sus coordenadas correspondientes coinciden:
(s1, s2 , ..., sn) = (t1, t2 , ..., tn) si y solo si si = ti para i = 1, 2, ....
Si tenemos n experimentos con espacios muestrales S1, S2, ..., Sn, entonces S1 × S2 × ··· × Sn es el espacio muestral natural para el experimento compuesto que consiste en realizar secuencialemnte los n experimentos. Si Si = S para cada i, entonces el conjunto producto puede escribirse en forma compacta como
Sn = S × S × ··· × S (n factores).
Así si tenemos un experimento básico con espacio muestral S, entonces Sn es el espacio natural para el esperimento compuesto que consiste de n réplicas del experimento básico. En particular, llamaremos R al conjunto de números reales de modo que Rn es un espacio Euclideano de dimensió-n. En muchos casos, el espacio muestral de un experimento aleatorio, y por consiguiente los eventos del experimento, son subconjuntos de Rn para algún n.
Ahora, supongamos que tenemos una colección infinita de conjuntos S1, S2, ..., el producto Cartesiano de S1, S2, ..., denominado
S1 × S2 × ···
es el conjunto de todoas las secuencias (ordenadas) (s1, s2 , ...,) donde si es un elemento de Si para cada i. Nuevamente, dos secuencias ordenadas son iguales si y solo si sus coordenadas correspondientes coinciden. Si tenemos una secuencia infinita de experimentos con espacios muestrales S1, S2, ..., entonces S1 × S2 × ··· es el espacio muestral natural para el experimento compuesto que consiste en relaizar el experimento dado secuencialmente. En particular, el espacio muestral para el experimento compuesto que consiste de réplicas indefinidas de un experimento básico es S × S × ···. Este es un caso especial esencial, porque la teoría de probabilidad se basa en la idea de réplicas de un dado experimento.
Estamos listos ahora para repasar las operaciones básicas de la teoría de conjuntos. Para un experimento aleatorio, estas operaciones se pueden usar para construir nuevos eventos a partir de eventos dados. Para las definiciones siguientes, supongamos que A y B son subconjuntos del conjunto universal, al que llamaremos S.
La union de A y B es el conjunto obtenido combinando los elementos de A y B.
A 
B = {s
S: s A or
s B}.
Si A y B son eventos en un experimento con espacio muestral S, entonces la unión de A y B es el evento que ocurre si y solo si ocurre A u ocurre B.
La intersección de A y B es el conjunto de elementos comunes de ambos, A y B:
A 
B = {s
S: s
A y s B}.
Si A y B son eventos en un experimento con espacio muestral S, entonces la intersección de A y B es el evento que corre si y solo si A ocurre y B ocurre. Si la intersección del conjunto A y B es vacío, entonces A y B son disjuntos:
A B = Ø.
Si A y B son eventos disjuntos en un experimento, entonces ellos son mutuamente excluyententes; no pueden ocurrir ambos en la misma realización del experimento.
El complemento de A es el conjunto de elementos que no están en A , cuya notación es Ac:
Ac = {s S:
s 
A}.
Si A es un evento en un experimento con espacio muestral space S, entonces el complemento de A es un evento que ocurre si y solo si A no ocurre.
2. Las operaciones de conjuntos se ilustran a menudo con gráficos esquemáticos
conocidos como diagramas de Venn, denominados por John
Venn. En el
applet del diagrama de Venn, seleccione cada uno de los siguientes y observe
el área sombreada en el diagrama.
B B En los siguientes problemas, A, B, y C son subconjuntos de un conjunto universal S.
3. Muestre que A B A A
B
4. Pruebe las leyes conmutativas:
B = B
A B = B
A
5. Pruebe las leyes asociativas:
(B
C) = (A B)
C (B
C) = (A B)
C
6. Pruebe las leyes distributivas:
(B
C) = (A B)
(A C) (B
C) = (A
B)
(A
C)
7. Pruebe las leyes de DeMorgan (llamadas
por Agustus
DeMorgan):
B)c = Ac
Bc. B)c =
Ac Bc.
8. Muestre que B
Ac es el evento que ocurre si y solo si B
ocurre, pero A no ocurre.
Cuando A
B, B
Ac es algunas veces escrita B - A. Así, S - A
es el mismo que Ac.
9. Muestre que (A Bc) (B
Ac)
es el evento que courre si y solo si uno, pero no ambos, de los eventos dados
ocurren. Este evento es denominado diferencia simétrica y
corresponde a exclusivo o.
10. Muestre que (A
B) (Ac
Bc) es el evento que ocurre si y solo si ambos eventos ocurren
o ninguno ocurre.
11.
Pruebe que existen 16 eventos deferentes (en general) que pueden construirse a
partir de 2 eventos dados A y B.
12. En el applet
del diagram de Venn , observe el diagrama de cada uno de los 16 eventos
que pueden construirse a partir de A y B. Note
en particular el diagrama de los eventos en los Ejercicios 8, 9, y 10.
13. Considere
el experimento de tirar un dado dos veces y registrar los dos resultados. Sea A
el evento de sacar un 1 en el primer dado y B el evento
de que la suma de los dados sea 7.
B
como un subconjunto de S. B
como un subconjunto de S.
Bc como un subconjunto de S. 14.
En la simulación del experimento
con dados , selecciones dado justo y fije n = 2 . Corra el experimento 100
veces y cuente el número de veces que cada evento del el ejercicio previo
ocurre.
15. Considere
el experimento de dar cartas de un mazo estándar. El resultado se registra
diciendo cual es el palo y el número de la carta seleccionada. Sea Q
el evento de sacar una carta que sea una reina y H el evento
de que la carta sea de corazón.
H como un subconjunto de S. H
como un subconjunto de S.
Hc como un subconjunto de S. 16.
In the card
experiment, set n = 1. Run the experiment 100
times and count the number of times each event in the previous exercise occurs.
17. Recall that Buffon's coin experiment consists of tossing a coin with
radius r 
1/2 on a floor covered with
square tiles of side length 1. The coordinates of the center of the coin are recorded
relative to axes through the center of the square in which the coin falls. Let A denote the event that the coin does not touch the sides of
the square.
18. In Buffon's
coin experiment, set r = 1/4. Run the
simulation 100 times and count the number of times event A in the last
exercises occurs
19. An experiment
consists of rolling a pair of dice until the sum of the two scores is either 5
or 7. The number of
rolls is recorded. Give the sample space of this experiment.
20.
An experiment consists of rolling a pair of dice until the sum of the two scores
is either 5 or 7. The scores of the dice on the final roll are recorded. Let A
denote the event that the sum is 5 rather than 7.
21. The die-coin
experiment consists of rolling a die and then tossing a coin the number of times shown on
the die. The sequence of coin scores is recorded. Let A denote the event that there are exactly two heads.
22. Run
the simulation of the die-coin experiment, with the default settings, 100 times. Count the number of times event A
in the last exercise occurs
occurs.
23.
In the coin-die experiment, we have a coin and two dice, one red and one green.
First the coin is tossed, and then if the result is heads the red die is rolled,
while if the result is tails the green die is rolled. The coin score and the
score of the chosen die are recorded. Let A denote the event that
the die score is at least 4.
24. Run the coin-die
experiment, with the default
settings, 100 times. Count the number of times that event A in the last
exercise occurs.
25. In a certain
district, candidates 1, 2, and 3 are running for congress. A political consultant samples
100 registered voters from the district and records the age (in years), gender, and candidate
preference of each person in the sample. Assume that a registered voter must be
at least 18 years old. Define a sample space for the experiment.
26. In the basic cicada experiment, a cicada in the Middle Tennessee area is
captured and the following measurements recorded: body weight (in grams), wing
length, wing width, and body length (in millimeters), species type, and gender.
The cicada data set gives the results of 104 repetitions of this experiment.
27. In the basic M&M experiment, a bag of M&Ms (of a specified size)
is purchased and the following measurements recorded: the number of red, green,
blue, yellow, orange, and brown candies, and the net weight (in grams). The
M&M data set gives the results of 30 repetitions of this experiment.
28. A system
consists of 5 components, labeled 1, 2, 3, 4, 5. Each component is either failed
(encoded by 0) or working (encoded by 1). The sequence of component states is
recorded. Let A be the event that a majority of components are working.
29.
Two components, labeled 1 and 2, are operated until failure, and the sequence of
failure times (in hours) is recorded. Let A be the event that component 1
lasts longer than 1000 hours and let B be the even that component 1 lasts
longer than component 2.
B as a subset of S. B as a subset of S. Bc as a subset of S.The operations of union and intersection can easily be extended to a finite or even an infinite collection of sets. Thus, suppose that Aj is a subset of a universal set S for each j in a nonempty index set J.
The union of the sets Aj, j
J is the set obtained by combining the
elements of the given sets:
j
Aj = {s
S: s Aj
for some j}.
If Aj, j
J are events in an experiment with sample space S, then the
union is the event that occurs if and only if at least one of the given events
occurs.
The intersection of the sets Aj,
j J is the set of elements common to all of the
given sets:
j
Aj = {s
S: s Aj
for every j}.
If Aj, j
J are events in an experiment with sample space S,
then the intersection is the event that occurs if and only if every event in the
collection occurs.
The sets Aj, j
J are pairwise disjoint if the intersection of any two sets is empty:
Ai Aj
= Ø for i
j.
If Aj, j
J are events in a random experiment, this means that they are mutually
exclusive; at most one of the events could occur on a given run of the experiment.
The sets Aj, j
J are said to partition
a set B if Aj, j
J are pairwise
disjoint and
j
Aj = B.
In the following problems, Aj, j
J and B are subsets of a
universal set S.
30. Prove the
general distributive laws:
j
Aj]
B = j
(Aj
B)j
Aj] B =
j
(Aj
B)
31. Prove the
general De Morgan’s laws:
j Aj] c =
j
Ajc.j
Aj]c = Ajc
. 32.
Suppose that the sets Aj, j
J partition S.
Show that for any subset B, the sets Aj
B, j
J, partition B.
We will now see how the set operations relate to the Cartesian product operation. Suppose that S1 and S2 are sets and that A1, B1 are subsets of S1 while A2, B2 are subsets of S2. The sets in the exercises below are subsets of S1 × S2.
33. Show that (A1
× A2) (B1
× B2) = (A1
B1) × (A2
B2).
34. Show
that
(B1 × B2)
(A1
B1) × (A2
B2),
(B1 × B2) can be written as a disjoint
union of product sets. 35. Show
that
(A1
× A2)c.The last three subsections explore advanced topics and can be omitted on a first reading.
In probability theory, and in most other mathematical theories, it is sometimes impossible to include all subsets of the universal set S in the theory. There are many strange, pathological subsets of R, for instance, that play no essential role in applied mathematics. However, we naturally want our collection of admissible subsets to be closed under the set operations listed above. Specifically, we usually need that the following property to hold:
Any set that can be constructed from a countable number of admissible sets (using the set operations) should itself be admissible.
This leads to key definition. Suppose that A is a collection of subsets of S. Then A is said to be a sigma algebra if
A. A
then Ac
A. A
for each j in a countable index set J, then j
Aj A.
36. Show that Ø
A.
37. Show that If Aj A
for each j in a countable index set J, then j
Aj A.
Hint: Use DeMorgan's law.
In any random experiment, we assume that the collection of events forms a sigma algebra.
Let {0, 1}S denote the collection of all subsets of S, called the power set of S. Trivially, {0, 1}S is a the largest sigma algebra of S, and as discussed above, is sometimes too large to be useful. The rather strange notation will be explained in the next section on Functions and Random Variables.
At the other extreme, the smallest sigma algebra of S is given in the following exercise.
38. Show that {Ø, S} is a sigma algebra.
In many cases, we want to construct a sigma algebra that contains certain basic sets. The following exercises show how to do this.
39. Suppose that Aj is a sigma algebra of subsets
of S for each j in a nonempty index set J. Show that the
intersection A below is also a sigma algebra of
subsets of S.
A = j
Aj.
Suppose now that B is a collection of subsets of S. Think of the sets in B as basic sets; but in general B will not be a sigma algebra. The sigma algebra generated by B is the intersection of all sigma algebras that contain B, which by the previous exercise, really is a sigma algebra:
sigma(B) = {A:
A is a sigma algebra of subsets of S and
B
A}.
40. Show that sigma(B) is the smallest sigma algebra
containing B:
sigma(B)
A then sigma(B)
A.
41. Suppose that A is a subset of S. Show that
sigma({A}) = {Ø, A, Ac, S}.
42. Suppose that
A and B are subsets of S. List the 16 (in general
distinct) sets in sigma({A, B}).
43.
Suppose that A1, A2, ..., An
are subsets of S. Show that there are 2^(2n) (in general distinct) sets in the sigma algebra generated by the given sets.
We will now discuss the natural sigma algebras that we will use for various sample spaces and other sets in this project.
As noted previously, product sets play a crucial role in probability theory. Thus, suppose that S1, S2, ..., Sn are sets and that Ai is a sigma algebra of subsets of Si for each i. For the product set
S = S1 × S2 × ··· × Sn,
we use the sigma algebra A generated by the collection of all product sets of the form
A1 × A2 × ··· × An where
Ai
Ai for each i.
We extend this idea to an infinite product. Thus, suppose that S1, S2, ... are sets and that Ai is a sigma algebra of subsets of Si for each i. For the product set
S = S1 × S2 × ··· ,
we use the sigma algebra A generated by the collection of all product sets of the form
A1 × A2 × ··· × An
× Sn+1 × Sn+2 ×
··· where n is a positive integer and Ai
Ai for each i.
Combining the product construction with our earlier remarks about R, note that for Rn, we use the sigma algebra generated by the collection of all products of intervals. This is the Borel sigma algebra for Rn.