0
para todo A.
j
en J Aj] = 
j
en J P(Aj)
si {Aj:
j 
J}
es un conjunto contable de eventos, disjuntos de a pares.Laboratorio Virtual > Espacios de Probabilitdad > 1 2 3 [4] 5 6 7 8
Supongamos que tenemos un experimento aleatorio con espacio muestral S. La probabilidad de un evento es una medida de cuan posible es que el evento ocurra cuando se realiza el experimento.
Matemáticamente, una medida de probabilidad (o distribución) P para un experimento aleatorio es una función valuada-real definida sobre la colección de eventos, que satisface los siguientes axiomas:
0
para todo A.j
en J Aj] = j
en J P(Aj)
si {Aj:
j J}
es un conjunto contable de eventos, disjuntos de a pares.El Axioma 3 es conocido como aditivitividad contable, y establece que la probabilidad de una unión de un grupo finito de eventos o de un grupo contable de eventos disjuntos es la suma de las correspondientes probabilidades . Los axiomas son conocidos como axiomas Kolmogorov , en honor a Andrey Kolmogorov.
Los axiomas 1 and 2 son realmente una convención; elegimos medir la probabilidad de un evento con un número entre 0 y 1 ( opuesto, digamos, a un número entre -5 y 7). El axioma 3 sin embargo, es fundamental e imposible de escaparle. Es necesario para la probabilidad precisamente por la misma razón de que es necesario para otras medidas del "tamaño" de un conjunto, tal como
En otras palabras, la aditividad contable (la extensión del axioma 3 a un conjunto indentado no contable J) no es razonable para la probabilidad, así como no lo es para otras medidas. Por ejemplo, un intervalo de largo positivo en R es una unión no contable de muchos puntos, cada uno de los cuales tiene largo 0.
Hemos ahora definido los tres ingredientes esenciales que modelan un experimento aleatorio:
Juntos estos ingredientes definen un espacio de probabilidad
Intuitivamente, la probabilidad de un evento mide la frecuencia relativa de ocurrencia del evento después de un término largo. Específicamente, supongamos que repetimos indefinidamente el experimento. (Note que ésto realmente crea un experimento compuesto nuevo). Para un evento A en un experimento básico, llamemos con Nn(A) el número de veces que A occurre (la frequencia de A) en las primeras n realizaciones. (Note que ésta es una variable aleatoria en un experimento compuesto). Así,
Pn(A) = Nn(A) / n
es la frequencia relativa de A en las primeras n realizaciones. Si hemos elegido la medida de probabilidad correcta, entonces en algún sentido esperamos que la frecuencia relativa de cada evento converja a la probabilidad del evento:
Pn(A) 
P(A) a medida que n
.
La afirmación precisa de ésto es la ley de los grandes números o ley de los promedios, uno de los teoremas fundamentales en probabilidad. Para enfatizar este punto, note que en general existirán muchas medidas de probabilidad posibles para un experimento, en el sentido de los axiomas. Sin embargo, solamente la verdadera medida de probabilidad satisfacerá a la ley de los grandes números.
Se deduce que si tenemos los datos de n realizaciones del experimento, la frecuencia relativa observada Pn(A) puede usarse como una aproximación para P(A); esta aproximación es llamada probabilidad empírica de A.
1.
Muestre que Pn
satisfice los axiomas de una medida de probabilidad (dados los datos de n
corridas del experimento)
Supongamos que X es una variable aleatoria para el experimento, que toma valores en un conjunto T.
2.
Muestre que P(X
B)
como una función de B
T,
define una medida de probabilidad en T. Ayuda:
Recuerde que la imágen inversa conserva todas las operaciones entre conjuntos.
La medida de probabilidad en el ejercicio anterior es llamada distribución de probabilidad de X. Así, toda variable aleatoria X para un experimento define un nuevo espacio de probabilidad:
Más aún, recuerde que el resultado de un experimento en sí puede pensarse como una variable aleatoria. Específicamente, si tomamos a X como la función identidad en S, entonces X es una variable aleatoria y
P(X
A) = P(A).
Así, toda medida de probabilidad puede pensarse como la distribución de una variable aleatoria.
Como podemos construir medidas de probabilidad? Como se observó antes, existen otras medidas del "tamaño" de un conjunto; en muchos casos, éstas pueden convertirse en medidas de probabilidadi.
Primero, una medida m(no negativa) en S es un mapeo sobre el subconjuno (medible) de S que satisface los axiomas 1 y 3 de más arriba. En general, m(A) puede ser infinita para un subconjunto A. Sin embargo, si m(S) es positiva y finita, entonces m puede fácilmente rescalarse en una medida de probabilidad.
3. Muestre que si m
es una medida en S con m(S) finita y
positiva, entonces P definida más arriba es una medida de
probabilidad en S.
P(A) = m(A) / m(S)
para A S.
En el contexto del Ejercicio 3, m(S) es la constante de normalización. En las próximas dos subsecciones, consideramos algunos casos especiales muy importantes.
Supongamos que S es un conjunto finito no vacío. Claramente, la medida contable # es una medida finita en S:
#(A) = el número de elmentos en A
para A S.
La medida de probabilidad correspondiente es la llamada distribución uniforme discreta en S, y es particularmente importante en experimentos de muestro y de combinatoria:
P(A) = #(A) / #(S)
para A S.
Podemos dar una construcción más general para espacios muestrales contables que pueden usarse para definir muchas medidas de probabilidad.
4.
Supongamos que S es no vacío y contable, y que g
es una función no'negativa valuada-real definida en S. Muestre
que m definida antes es una medida en S:
m(A) = x
en A g(x) para A S.
Así, si m(S) es finita y positiva, entonces P(A) = m(A) / m(S) define una medida de probabilidad mediante el Ejercicio 3. Las Distribuciones de este tipo se dicen que son discretas. Distribuciones discretas se estudian en detalle en el capítulo sobre Distribuciones.
5. En el ejercicio previo, muestre que si S es finito y g
es una función constante, entonces la medida P de probabilidad
correspondiente es la distribución uniforme en S.
Definimos una medida n-dimensional en Rn (tambén llamada medida de Lebesgue, en honor a Henri Lebesgue) como
mn(A) = 
A
1dx para A
Rn.
Note que si n > 1, la integral de arriba es una integral
múltiple;
R.
R2.
R3.Ahora, si S es un subconjunto de Rn con mn(S) positivo y finito, entonces
P(A) = mn(A) / mn(S)
es una medida de probabilida en S como en el Ejercicio 2, llamada distribución uniforme continua en S.
Podemos generalizar esta contrucción para producir muchas otras distribuciones. Supongamos que g es una función valuada-real no negativa definida en S. Defina
m(A) = A
g(x) dx
para A
S.
Entonces m es una medida en S. Así si m(S) es finita y positiva, entonces P(A) = m(A) / m(S) defineuna medida de probabilidad como en el Ejercicio 2. Las Distribuciones de este tipo se dice que son continuas. Las distribuciones continuas se estudian en detalle en el capítulo sobre Distribuciones.
Es importante notar de nuevo que, a diferencia de mucha otras áreas de matemática, los espacios de dimensión baja (n = 1, 2, 3) no juegan un rol especial, excepto para la exposición. Por ejemplo en los datos de la Cigarra , algunas de las variables registradas son el peso del cuerpo, el largo, el ancho y el largo de las alas. Un modelo de probabilidad para estas variables especificaría una distribución en un subconjunto de R4.
Supongamos que tenemos un experimento aleatorio con espacio muestral S y medida de probabilidad P. En el ejercicio siguiente, A y B son eventos.
6. Muestre que P(Ac)
= 1 - P(A).
7. Muestre que P(Ø)
= 0.
8.
Muestre que P(B
Ac) = P(B)
- P(A
B).
9. Muestre que if A
B
entonces P(B
Ac) = P(B)
- P(A).
Recuerde que B
Ac
se escribe algunas veces como B - A cuando A
B. Con
esta notación, el resultado en el ejercicio anterior tiene la forma
atractiva
P(B - A) = P(B) - P(A).
10. Muestre que si A
B
entonces P(A) 
P(B).
11. Suponga que {Aj:
j J}
es una colección contable de eventos. Pruebe la desigualdad de
Boole (llamada por George Boole):
P[j
Aj]
j
P(Aj).
Ayuda: Sea J = {1, 2, ...} y defina B1 = A1, B2
= A2
A1c,
B3 = A3
A1c
A2c, ...
Muestre que B1,
B2, ... son disjuntos de a pares y que tienen la misma
unión como A1,
A2, .... Use el axioma de aditividad de la probabilidad y
el resultado del Ejercicio 6.
12.
Suponga que
{Aj:
j J}
es una colección contable de eventos con P(Aj) = 0
para cada j en J. Use la desigualdad de Boole para
mostrar que
P[j
Aj] = 0.
13.
Suponga que {Aj:
j J}
es una colección contable de eventos. Pruebe la desigualdad de Bonferroni
(llamada por Carlo
Bonferroni):
P[
j
Aj]
1
- j
[1 - P(Aj)].
Hint: Apply Boole's inequality to {Ajc:
j J}
14.
Suponga que {Aj:
j J}es
una colección de eventos con P(Aj) = 1
para cada j en J. Use la desigualdad de Bonferroni
para mostrar que:
P[j
Aj] = 1.
15. Suponga que A y B son eventos en un
experimento con P(A) = 1. Muestre que P(A
B) = P(B)
16.
Pruebe la ley de probabilidad total: si {Aj:
j J}
es una colección contable de eventos que forman una partición
del espacio muestral S, entonces para cada evento B,
P(B) = j
P(Aj
B).
Las fórmulas de inclusión-exclusión proveen un método para calcular la probabilidad de una unión de eventos en términos de las probabilidades de diversas intersecciones de los eventos.
17.
Muestre que si A y B son eventos entonces
P(A 
B) = P(A)
+ P(B) - P(A
B).
18.
Muestre que si A, B, y C son eventos entonces
Los últimos dos ejercicio pueden generalizarse a una unión de n eventos Ai, i = 1, 2, ...n. La generalización es conosida como fórmula de inclusión-exclusión . Para simplificar la formulación, sea N el conjuntos del índice {1, 2, ..., n}. Defina
j
en J Aj] para J
N.{J:
#(J) = k} pJ para k N 19.
Muestre que P[i
= 1, ..., n Ai] = k
= 1, ..., n (-1)k - 1
qk.
Las desigualdades general Bonferroni establecen que si la suma de la derecha es truncada después de k términos (k < n), entonces la suma truncada es una cota superior para la probabilidad de la unión si k es impar (de modo que el último término tiene un signo positivo) y es una cota inferior para la probabilidad de la unión si k es par (de modo que el último término tiene un signo negativo) .
Si revisas las pruebas de las propiedades básicas en los Ejercicios 6-19, verás que se cumplen para toda medida finita m, no solo para la probabilidad. El único cambio es que el número 1 se eemplaza por m(S). En particular, la regla de inclusión-exclusión rule es tan importante en combinatoria (el estudio de nedida contable) como lo es en probabilidad.
20.
Suppose
that we roll 2 fair dice and record the sequence of scores. Let A denote the event that the first
die score is less than 3 and B the event that the sum of the dice scores is
6.
B).
B).
Ac ).
21. In the dice
experiment, set n = 2. Run the experiment 100 times and
compute the empirical probability of each event in the previous exercise.
22. Consider the
experiment in which 2 cards are dealt from a standard deck and the
sequence of cards recorded. For i = 1, 2, let Hi
denote the event that card i is a heart.
H2)
H2)
H2).
23. In the card
experiment, set n = 2. Run the experiment 100 times and
compute the empirical probability of each event in the previous exercise
24. Recall that in
Buffon's coin experiment, a coin
with radius r 1/2 is tossed
"randomly" on a floor with with square tiles of side length 1, and the
coordinates of the center of the coin are recorded, relative to the center of the square
in which the coin lands. Let A denote the event that the coin does not touch the sides of
the square.
25. In Buffon's coin
experiment, set r = 0.2. Run the experiment 100 times and
compute the empirical probability of each event in the previous exercise.
26. Suppose that A
and B are events in an experiment with P(A) = 1 / 3, P(B) = 1 / 4, P(A
B) = 1 / 10.
Express each of the following events in the language of the experiment and find its
probability:
Bc B
Bc Bc Bc 27. Suppose that A,
B, and C are events in an experiment with
P(A) = 0.3, P(B) = 0.2, P(C) =
0.4, P(A B) =
0.04,
P(A
C) = 0.1, P(B
C) = 0.1, P(A
B
C) = 0.01
Express each of the following events in set notation and find its probability:
28. A pair of fair
dice are rolled repeatedly until the sum of the scores is either 5 or 7. The
sequence of scores on the final roll are recorded. Let A be the event that the
sum is 5 rather than 7.
Probabilities of the type in the last exercise are important in the game of craps.
29. An experiment
consists of tossing 3 fair coins and recording the sequence of scores. Let A
be the event that the first coin is heads and B the event that there are
exactly 2 heads.
B)
B).
Bc). Bc).
Bc). 30. An box
contains 12 marbles: 5 are red, 4 are green, and 3 are blue. Three marbles are
chosen at random, without replacement.
31.
Repeat the last exercise under the assumption that the marbles are chosen with replacement.
32. For the M&M data
set, let R denote the event that a bag
has at least 10 red candies, T the event that a bag has at least 57
candies total, and W the event that a bag weighs at least 50 grams. Find
the empirical probability the following events:
T
Wc.
33. For the cicada
data, let W denote the event that a cicada weighs at least
0.20 grams, F the event that a cicada is female, and T the event
that a cicada is type tredecula. Find the empirical probability of
F
T
WRecall that the collection of events of the experiment form a sigma algebra A. In some cases, A is generated by some smaller collection of basic events B, that is
A = sigma(B).
We often would like to know that the probabilities of the basic events
completely determine the entire probability measure. This turns out to be true
if the basic events are closed under intersection. Specifically, suppose that if
B, C B
then B C
B (B
is called a pi system). If P1 and P2
are probability measures on A and P1(B) =
P2(B) for B B
then P1(A) = P2(A)
for any A A.
For example, the standard (Borel) sigma algebra on R is generated by
the collection of all open intervals of finite length, which is clearly closed
under intersection. Thus, a probability measure P on R is
completely determined by its values on the finite open intervals. In addition,
the sigma algebra on R is generated by the collection of closed, infinite
intervals of the form (-,
x]. Thus, a probability measure P on R is completely
determined by its values on these intervals.
Next, suppose that we have n sets S1, S2, ..., Sn with sigma algebras A1, A2, ..., An, respectively. Recall that the product set
S = S1 × S2 × ··· × Sn
is a natural sample space for an experiment that consists of multiple measurements, or for a compound experiment that consists of performing n basic experiments in sequence. Usually, we give S the sigma algebra A generated by the collection of product sets of the form
A = A1 × A2 × ··· × An
where Ai
Ai for each i.
This collection of product sets is closed under intersection, and hence a probability measure on S is completely determined by its values on these product sets.
Generalizing, suppose that we have an infinite sequence sets S1, S2, ... with sigma algebras A1, A2, ..., respectively. The product set
S = S1 × S2 × ···.
is a natural sample space for an experiment that consists of infinitely many measurements, or for a compound experiment that consists of combining an infinite sequence of basic experiments. Usually, we give S the sigma algebra A generated by the collection of product sets of the form
A = A1 × A2 × ··· × An.×
Sn+1 × Sn+2 ×
··· where n is a positive integer and Ai
Ai for each i.
This collection of product sets is closed under intersection, and hence a probability measure on S is completely determined by its values on these product sets.