PROGRAMA ANALÍTICO - PLAN 2003
I) Integración.
Transformación conforme. Transformación lineal general, inversa y bilineal. Integrales en el campo complejo. Teorema de Cauchy-Goursat. Consecuencias. Fórmula de la integral de Cauchy y de la derivada de la integral de Cauchy. Teorema de Morera. Teorema del módulo máximo.
II) Series de potencias. Polos y residuos.
Series de Taylor. Series de Laurent. Métodos prácticos. Desarrollos en serie. Convergencia. Definición de residuos. Singularidades aisladas: definición y clasificación. Fórmulas para el cálculo de residuos. Teorema de los residuos. Cálculo de integrales impropias reales. Convergencia. Lema de Jordan. Cálculo de integrales definidas con senos y cosenos en el integrando.
III) Sistemas lineales. Análisis de señales. Convolución.
Definición de sistemas lineales. Función operacional del sistema. Solución de ecuaciones diferenciales en el
dominio del tiempo. Componente transitoria y de estado estable o forzada. Diagramas en bloque. Respuesta a funciones de entrada exponenciales. Aplicaciones a sistemas lineales. Clasificación de señales. Funciones singulares. Función impulso. Función impulso como límite de otra función. Función impulso desplazada. Propiedades. Derivadas de la función impulso. Superposición y convolución en sistemas de tiempo continuo. Propiedades. Análisis de la convolución. Relación entre la respuesta al escalón y la respuesta al impulso. Cálculo de la respuesta al impulso.Salida del sistema.
Variable de estado para sistemas de tiempo continuo. Concepto de estado. Modelo de estado de sistemas
lineales. Solución de la ecuación de estado. Solución en el dominio temporal. Propiedades de la matriz de
transición de los estados. Transformaciones de semejanza
IV) Series de Fourier
Sistemas ortogonales de funciones. Funciones seccionalmente continuas. Teorema de óptima aproximación. Series de Fourier de una función relativa a un sistema ortonormal. Aproximación cuadrática. Sistemas cerrados y completos. Propiedades de los coeficientes de Fourier. Series trigonométrica y exponencial de Fourier. Series de senos y cosenos. Simetría de la forma de onda. Integración y diferenciación de las series de Fourier. Cálculo de coeficientes por medio de funciones impulso. Espectro de frecuencia discreta. Definición. Espectro de líneas. Propiedades. Potencia media. Espectro de potencia. Energía. Valor medio. Valor cuadrático medio. Valor eficaz. Respuesta de un sistema lineal en estado estacionario.
V) Transformada e integral de Fourier
Forma trigonométrica de la integral de Fourier. Convergencia de la integral de Fourier. Transformada de Fourier. Linealidad de la transformada. Transformada inversa de Fourier. Propiedades. Forma seno y coseno de la integral de Fourier. Transformada seno y coseno. Convolución. Espectro de frecuencia continua. Propiedades. Espectro de energía. Transformada de Fourier de señales de potencia. Muestreo de señales de tiempo. Modulación. Transmisión de señales a través de filtros lineales.
VI) Transformada de Laplace
Definición unilateral y bilateral de la transformada de Laplace. Teoremas de existencia. Convergencia. Propiedades. Relación entre la transformada de Fourier de argumento complejo y la transformada de Laplace. Obtención de la transformada bilateral a partir de la transforma unilateral. Transformada inversa. Propiedades. Métodos para calcularla. Relación entre la transformada de Fourier de argumento real y la transformada de Laplace. Aplicaciones. Función de transferencia. Análisis de la estabilidad de un sistema. Diagramas de bloques en el tiempo y en la frecuencia compleja. Solución del modelo de Estados mediante la Transformada de Laplace. Relación con la función de transferencia. Estabilidad en modelo de Estados.
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