1. Muestre que E(Z)
= 0 (el vector cero en Rn).Laboratorio Virtual > Distribuciones Especiales > 1 2 3 4 5 6 7 [8] 9 10 11 12 13 14 15
La distribución normal multivariable es la generalización natural de la distribución normal bivariable. La expresión es muy compacta y elegante al usar el valor esperado y las matrices de covarianza, y sería sumamente complejo hacerlo sin estas matrices. Así, esta sección requiere como pre-requisito poseer algún conocimiento de álgebra lineal a nivel de un pre-grado.
Suponga que Z1, Z2, ..., Zn son independientes, cada una con distribución normal standard . El vector aleatorio Z = (Z1, Z2, ..., Zn) tiene una distribución normal standard n-dimensional.
1. Muestre que E(Z)
= 0 (el vector cero en Rn).
2. Muestre que VC(Z)
= I (la matriz identidad n × n).
3. Muestre que Z tiene una función densidad
g(z) = [1 / (2
)n/2] exp(-zTz / 2) para z en Rn.
4. Muestre que Z tiene una función generadora de momentos dada por
E[exp(tTZ)] = exp(tTt / 2) para t en Rn.
Ahora suponga que Z tiene una distribución normal standard n-dimensional. Suponga que µ es un vector en Rn y que A es una matriz n × n invertible. El vector aleatorio X = µ + AZ. tiene una distribución normal n-dimensional.
5. Muestre que E(X)
= µ.
6. Muestre que VC(X)
= AAT y que esta matriz es invertible y por lo tanto
es positiva definida.
7. Sea V
= VC(X) = AAT. Use el teorema del cambio de variables multivariable para mostrar que X tiene una función densidad
f(x) = {1 / [(2
8. Muestre que X tiene una función generadora de momentos dada por
E[exp(tTX)] = exp(tTµ + tTVt / 2) para t en Rn.
Note que la matriz A que aparece en la transformación no es única, pero por supuesto la matriz de varianza-covarianza V sí es única. En general, para una matriz definida positiva V, existen muchas matrices invertibles A tales que AAT = V. Cierto teorema en la teoría de matrices establece que hay una única matriz triangular inferior L con esta propiedad.
9. Identique la matriz triangular inferior L para la distribución normal bivariable.
La distribución normal multivariable es invariante bajo dos tipos básicos de transformaciones: la transformación afín con una matriz invertible, y la formación de subsecuencias.
10. Suponga que X tiene una distribución normal n-dimensional. Suponga también que a está en Rn y que B es una matriz
invertible n × n. Muestre que Y = a
+ BX tiene una distribución normal multivariable. Identifique el
vector de medias y la matriz de varianza-covarianza de Y.
11. Suponga que X tiene una distribución normal n-dimensional. Muestre que cualquier permutación de las
coordenadas de X también tienen una distribución normal n-dimensional. Identifique el
vector de medias y la matriz de varianza-covarianza. Ayuda:
Permutar las coordenadas de X corresponde a multiplicar X por una matriz de permutación--una matriz de 0's y 1's en la cual cada fila y columna tiene un solo 1.
12. Suponga que X
= (X1, X2, ..., Xn) tiene una distribución normal n-dimensional. Muestre que si k < n, W
= (X1, X2, ..., Xk) tiene una distribución normal k-dimensional. Identifique el vector de medias y la matriz de varianza-covarianza.
13. Use los
resultados de los Ejercicios 11 y 12 para mostrar que si X = (X1,
X2, ..., Xn) tiene una distribución normal n-dimensional y si i1, i2, ..., ik son índices distintos, entonces W = (Xi1,
Xi2, ..., Xik) tiene un distribución normal k-dimensional.
14. Suponga que X tiene una distribución normal n-dimensional, a está en
Rn, y B es una matriz m × n con filas linealmente
independientes (así, m 
n). Muestre que Y = a + BX tiene una distribución normal m-dimensional. Ayuda: Existe una matriz n × n
invertible C para la cual las primeras
m filas son las filas de B. Ahora use los Ejercicios 10 y 12.
Note que los resultados de los Ejercicios 10, 11, 12, y 13 son casos especiales del resultado del Ejercicio 14.
15. Suponga que X tiene una distribución normal n-dimensional, Y tiene una distribución normal m-dimensional, y que X e Y son independientes. Muestre que (X, Y) tiene una distribución normal n + m-dimensional. Identifique el vector de medias y la matriz de varianza-covarianza.
16. Suponga que X es un vector aleatorio en Rn, Y es un vector aleatorio en Rm, y que (X,
Y) tiene una distribución normal n + m-dimensional. Muestre que X e Y son
independientes si y solo si cov(X, Y)
= 0.