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7. La Distribución Normal Bidimensional

Definición

Suponga que U y V son variables aleatorias independientes, con distribución normal standard. Necesitaremos los siguientes cinco parámetros:

µ₁ y µ₂ en R, d₁ y d₂ > 0, y p en [-1, 1].

Ahora, sean X y Y dos nuevas variables aleatorias definidas por

• X = µ₁ + d₁U
• Y = µ₂ + d₂pU + d₂(1 - p²)^1/2V.

La distribución conjunta de (X, Y) es llamada distribución normal bidimensional con parámetros µ₁, µ₂, d₁, d₂ y p.

Propiedades Básicas

Para los siguientes ejercicios, use las propiedades de las media, varianza, covarianza, y la distribución normal.

1. Muestre que X está normalmente distribuída con media µ₁ y desviación standard d₁.

2. Muestre que Y está normalmente distribuída con media µ₂ y desviación standard d₂.

3. Muestre que cor(X, Y) = p.

4. Muestre que X e Y son independientes si y solo si cor(X, Y) = 0.

5. En el experimento normal bidimensional, cambie las desviaciones standard de X e Y con las "scroll bars". Observe el cambio en la forma de las funciones densidad de probabilidad. Ahora cambie la correlación con la "scroll bar" y note que las funciones densidad de probabilidad no cambian.

6. En el experimento normal bidimensional, fije la desviación standard de X a 1.5 y la de Y a 0.5. Para cada una de las siguientes correlaciones, corra el experimento 2000 veces con una actualización de la frecuencia de 10. Observe la nube de puntos en el scatterplot de (X, Y)  y note la convergencia de la función densidad empírica con la función densidad de probabilidad: p = 0, p = 0.5, p = -0.5, p = 0.7, p = -0.7, p = 0.9, p = -0.9.

Función Densidad

Ahora usaremos un cambio de variables para encontrar la función densidad de probabilidad conjunta (X, Y).

7. Muestre que la transformación inversa está dada por

1. u = (x - µ₁) / d₁.
2. v = (y - µ₂) / [d₂(1 - p²)^1/2] - p(x - µ₁) / [d₁(1 - p²)^1/2].

8. Muestre que el Jacobiano de la transformación en el ejercicio previo es

d(u, v) / d(x, y) = 1 / [d₁d₂(1 - p²)^1/2].

Note que el Jacobiano es una constante. Esto es debido a que la transformación es lineal.

9. Use los ejercicios previos, la independencia de U y V, y el cambio de variables para mostrar que la densidad conjunta de (X, Y) es

f(x, y) = C exp[Q(x, y)]

donde la constante de normalización C y la  forma cuadrática Q son dadas por

• C = 1 / [2d₁d₂(1 - p²)^1/2]
• Q(x, y) = -[(x - µ₁)² / d₁² - 2p(x - µ₁)(y - µ₂) / (d₁d₂) + (y - µ₂)² / d₂²] / [2(1 - p²)]

Si  c es una constante, el conjunto de puntos {(x, y) en R²: f(x, y) = c}es llamado curva de nivel de f (Estos son puntos de densidad de probabilidad constante).

10. Muestre que

1. Las curvas de nivel de f son elipses centradas en (µ₁, µ₂)
2. Los ejes de estas elipses son paralelas a los ejes de coordenadas si y solo si p = 0.

11. En el experimento normal bidimensional, fije la desviación standard de X a 2 y la de Y a 1. Para cada una de las siguientes correlaciones, corra el experimento 2000 veces con una frecuencia de actualización de 10 y observe la nube de puntos en el scatterplot de (X, Y) : p = 0, p = 0.5, p = -0.5, p = 0.7, p = -0.7, p = 0.9, p = -0.9.

Transformaciones

El siguiente ejercicio muestra que la distribución normal bidimensional se mantiene bajo transformaciones afines.

12. Defina W = a₁X + b₁Y + c₁ y Z = a₂X + b₂Y + c₂. Use las fórmulas para el cambio de variables para mostrar que (W, Z) tiene una distribución normal bidimensional. Identifique las medias, las varianzas y la correlación.

13. Muestre que la distribución condicional de Y dada X = x es normal con media y varianza dada por

1. E(Y | X = x) = µ₂ + p d₂ (x - µ₁) / d₁.
2. var(Y | X = x) = d₂² (1 - p²).

14. Use la representación de X y Y en términos de las variables normales standard independientes U y V para mostrar que

Y = µ₂ + d₂ p (X - µ₁) / d₁ + d₂ (1 - p²)^{1 / 2} V.

Ahora daremos otra prueba al resultado del Ejercicio 13 (note que X y V son independientes).

15. En el experimento normal bidimensional, fije la desviación standard de X a 1.5, la desviación standard de Y a 0.5, y la correlación a 0.7.

1. Corra el experimento n =100 veces, actualizando después de cada corrida.
2. Para cada corrida, calcule E(Y | X = x), el valor esperado de Y dado el valor de X.
3. Sobre las 100 corridas, calcule la raiz cuadrada del promedio de los errores cuadráticos entre el valor esperado de Y y el verdadero valor de Y.

El siguiente problema es un buen ejercicio para usar la fórmula del cambio de variables y será útil cuando discutamos la simulación de las variables normales.

16. Recuerde que U y V son variables aleatorias independientes con distribución normal standard. Defina las coordenadas polares (R, T) de (U, V) mediante las ecuaciones

U = R cos(T), V = R sin(T) donde R > 0 y 0 < T < 2.

Muestre que

1. R con función densidad g(r) = r exp(-r² / 2), r > 0. La distribución de R es conocida como distribución de Rayleigh.
2. T está uniformemente distribuída sobre (0, 2).
3. R y T son independientes.

Los resultados de esta sección tienen sus analogías directas para la distribución normal multivariable  general.

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